Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết về Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Mỗi cặp số $(x_0;y_0)$ thỏa mãn (I) được gọi là một nghiệm của hệ.
Giả sử $(d)$ là đường thẳng $ax+by=c$ và $(d’)$ là đường thẳng $a′x+b′y=c′$. Khi đó:
1) Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ $(d)$ và $(d')$ cắt nhau;
2) Hệ (I) vô nghiệm⇔ $(d)$ và $(d')$ song song với nhau;
3) Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ $(d)$ và $(d’)$ trùng nhau.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} |x|-3\sqrt{2}y=12 \\ 2|x|-\sqrt{2}y=4 \end{array} \right. $ có bao nhiêu nghiệm?
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} |x|-3\sqrt{2}y=12 \\ 2|x|-\sqrt{2}y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |x|-3\sqrt{2}y=12 \\ 6|x|-3\sqrt{2}y=12 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5|x|=0 \\ |x|-3\sqrt{2}y=12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=-2\sqrt{2} \end{array} \right. \end{array} $
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $ (x;y)=(0;-2\sqrt{2}) $ .
Câu 2: Số nghiệm của hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-x=4 \\ {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4 \end{array} \right. $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-x=4 \\ {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2y \\ {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4 \end{array} \right. $
$ \Rightarrow {{(-2y)}^{2}}-2{{y}^{2}}+2y=4\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=1 \\ y=-2 \end{array} \right. $
Với $ y=1\Rightarrow x=-2 $
Với $ y=-2\Rightarrow x=4 $
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: $ (x;y)=\left\{ (-2;1) ;(4;-2) \right\} $
Câu 3: Gọi $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}}) $ là nghiệm nguyên của hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{3}y=x \\ 4x-y=1 \end{array} \right. $ . Giá trị của $ x_{o}^{2}+y_{o}^{2} $ là
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ x\ne 0 $ .
Khi đó từ hệ phương trình đã cho suy ra
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 6-xy=3{{x}^{2}} \\ y=4x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6-x(4x-1)=3{{x}^{2}} \\ y=4x-1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7{{x}^{2}}-x-6=0 \\ y=4x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{6}{7} \end{array} \right. \\ y=4x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=3 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\dfrac{6}{7} \\ y=-\dfrac{31}{7} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} $
Vậy nghiệm nguyên của hệ phương trình là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(1;3) $
Ta có: $ x_{o}^{2}+y_{o}^{2}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10. $
Câu 4: Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=1 \\ \sqrt{x}+\sqrt{2y+1}=y+2 \end{array} \right. $ có nghiệm $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}}) $ với $ {{x}_{o}} > 1 $ . Tính $ \dfrac{{{x}_{o}}}{{{y}_{o}}} $ .
- A
- B
- C
- D
$ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=1(1) \\ \sqrt{x}+\sqrt{2y+1}=y+2(2) \end{array} \right. $ Điều kiện: $ x\ge 0;y\ge -\dfrac{1}{2} $
Từ (1) $ \Rightarrow x=1+2y $ thế vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} \sqrt{1+2y}+\sqrt{2y+1}=y+2 \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{1+2y}=y+2 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\ge -\dfrac{1}{2} \\ 4(1+2y)={{(y+2)}^{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\ge -\dfrac{1}{2} \\ {{y}^{2}}-4y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=0 \\ y=4 \end{array} \right. \end{array} $
Với $ y=0\Rightarrow x=1. $
Với $ y=4\Rightarrow x=9. $
Vì $ x > 1 $ nên nghiệm của hệ thỏa mãn đề bài là: $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(9;4) $
Ta có: $ \dfrac{{{x}_{o}}}{{{y}_{o}}}=\dfrac{9}{4} $ .
Câu 5: Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} {{(x-2y)}^{2}}+4xy=y \\ {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=2x \end{array} \right. $ với $ x < y $ có nghiệm là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}}) $ . Tính $ {{x}_{o}}-{{y}_{o}} $ .
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {{(x-2y)}^{2}}+4xy=y \\ {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=2x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=y \\ {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=2x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2x \\ {{x}^{2}}+4.{{\left( 2x \right)}^{2}}=2x \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2x \\ x(17x-2)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{2}{17} \\ y=\dfrac{4}{17} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} $
Vì $ x < y $ nên $ (x;y)=\left( \dfrac{2}{17};\dfrac{4}{17} \right) $ .
Vậy nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{2}{17};\dfrac{4}{17} \right) $ .
Ta có: $ {{x}_{o}}-{{y}_{o}}=\dfrac{2}{17}-\dfrac{4}{17}=-\dfrac{2}{17} $
Câu 6: Số nghiệm của hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+|y|=5 \\ 2x-|y|=4 \end{array} \right. $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \left\{ \begin{array}{l} x+|y|=5 \\ 2x-|y|=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x=9 \\ |y|=5-x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ |y|=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=-2 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=2 \end{array} \right. \end{array} \right. $
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (3;-2),(3;2) \right\} $ .
Câu 7: Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3 \\ {{x}^{3}}-3(x+y)=1 \end{array} \right. $ với $ x < 0 $ có nghiệm $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}}) $ . Tính $ |{{x}_{o}}-{{y}_{o}}| $ .
- A
- B
- C
- D
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3(1) \\ {{x}^{3}}-3(x+y)=1(2) \end{array} \right. $
Thế $ 3={{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} $ vào phương trình (2) ta được:
$ {{x}^{3}}-\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)(x+y)=1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)=1\Leftrightarrow {{y}^{3}}=1\Leftrightarrow y=1 $
Với $ y=1 $ thay vào phương trình (1) ta được:
$ {{x}^{2}}-x=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ x=2 \end{array} \right. $
Vì $ x < 0 $ nên nghiệm của hệ thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(-1;1) $
Ta có: $ |{{x}_{o}}-{{y}_{o}}|=|-1-1|=2 $ .