Dấu của tam thức bậc hai

Ta có: $ f(x)={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }+1-2({ x ^ 2 }+2x+1)={{({ x ^ 2 }+1)}^ 2 }-{{\left[ \sqrt{2} (x+1) \right]}^ 2 } $

$ \Rightarrow f(x)=\left( { x ^ 2 }-\sqrt{2} x+1-\sqrt{2} \right)\left( { x ^ 2 }+\sqrt{2} x+1+\sqrt{2} \right) $

lập bảng xét dấu ta được

$ \Rightarrow f(x) > 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\dfrac{\sqrt{2} -\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 \right)\cup \left( \dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 ;+\infty \right) $

$ f(x) < 0\Leftrightarrow \left( \dfrac{\sqrt{2} -\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 ;\dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 \right) $

Đặt $ f\left( x \right)=\left( 4-{ x ^ 2 } \right)\left( { x ^ 2 }+2x-3 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+9 \right) $

Phương trình $ 4-{ x ^ 2 }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.. $

Phương trình $ { x ^ 2 }+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\,3 \\ \end{align} \right.. $

Ta có $ { x ^ 2 }+5x+9={{\left( x+\dfrac{5}{2} \right)}^ 2 }+\dfrac{11} 4 > 0\Rightarrow { x ^ 2 }+5x+9=0\Leftrightarrow x\in \varnothing . $

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy $ \left( 4-{ x ^ 2 } \right)\left( { x ^ 2 }+2x-3 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+9 \right) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x < -\,3 \\ & -2 < x < 1 \\ & x > 2 \\ \end{align} \right. $

$ \Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -2;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right). $

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $ 5-4x-{ x ^ 2 }\ge 0. $

Phương trình $ 5-4x-{ x ^ 2 }=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\,5 \\ \end{align} \right.. $

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $ 5-4x-{ x ^ 2 }\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ -\,5;1 \right]. $

Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $ 2{ x ^ 2 }-5x+2\ge 0. $

Phương trình $ 2{ x ^ 2 }-5x+2=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right.. $

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $ 2{ x ^ 2 }-5x+2\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;+\,\infty \right). $

Vậy tập xác định của hàm số là $ D=\left( -\,\infty ;\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;+\,\infty \right). $

Ta có: $ f(x)=\dfrac{2x-2(x+9)-x(x+9)}{2x(x+9)}=\dfrac{-{ x ^ 2 }-9x-18}{2x(x+9)} $

Từ bảng xét dấu ta có

$ \Rightarrow f(x) > 0\Leftrightarrow x\in (-6;-3)\cup (-2;0) $

$ f(x) < 0\Leftrightarrow (-\infty ;-9)\cup (-6;-3)\cup (0;+\infty ) $

Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{ { - 5; - 4;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$

Bất phương trình $ x\left( x+5 \right)\le 2\left( { x ^ 2 }+2 \right)\Leftrightarrow { x ^ 2 }+5x\le 2{ x ^ 2 }+4\Leftrightarrow { x ^ 2 }-5x+4\ge 0 $

Xét phương trình $ { x ^ 2 }-5x+4=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.. $

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $ { x ^ 2 }-5x+4\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;1 \right]\cup \left[ 4;+\,\infty \right). $

Vậy có 7 giá trị nguyên dương thỏa mãn: $1;4;5;6;7;8;9$

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 \ne 0\\
x + 2 \ne 0\\
2x - {x^2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ne  \pm \,2
\end{array} \right..\] Bất phương trình:

$ \dfrac{x+3}{{ x ^ 2 }-4}-\dfrac{1}{{}x+2} < \dfrac{2x}{2x-{ x ^ 2 }}\Leftrightarrow \dfrac{x+3}{{ x ^ 2 }-4}-\dfrac{1}{{}x+2}+\dfrac{2x}{{ x ^ 2 }-2x} < 0\Leftrightarrow \dfrac{2x+9}{{ x ^ 2 }-4} < 0. $

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $ \dfrac{2x+9}{{ x ^ 2 }-4} < 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;-\dfrac{9}{2} \right)\cup \left( -\,2;0 \right)\cup \left( 0;2 \right) $

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của $ x $ $ \left( x=1 \right) $ thỏa mãn yêu cầu.

Đặt $ t={ x ^ 2 }\ge 0 $

Ta có $ \left| { t ^ 2 }-2t-3 \right|\le t-5 $ .

Nếu $ { t ^ 2 }-2t-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t\le -1 \\ & t\ge 3 \\ \end{align} \right. $ thì ta có $ { t ^ 2 }-3t+2\le 0\Leftrightarrow 1\le t\le 2 $ loại

Nếu $ { t ^ 2 }-2t-3 < 0\Leftrightarrow -1 < t < 3 $ thì ta có $ -{ t ^ 2 }+t+8\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t\le \dfrac{1-\sqrt{33}} 2 \\ & t\ge \dfrac{1+\sqrt{33}} 2 \\ \end{align} \right. $ (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, suy ra không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn.

Ta có $ { x ^ 2 }+4x-21=0\Leftrightarrow x=-7;\,x=3 $ và $ { x ^ 2 }-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1 $ .

Lập bảng xét dấu ta có

$ f\left( x \right) > 0 $ khi $ x < -7 $ hoặc $ -1 < x < 1 $ hoặc $ x > 3 $ .

Điều kiện $ x\ne \pm 2 $.

$ \left| \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} \right| < 1 $

$ \Leftrightarrow -1 < \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} < 1 $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} > -1 \\ & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} < 1 \\ \end{align} \right. $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4}+1 > 0 \\ & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4}-1 < 0 \\ \end{align} \right. $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{{ x ^ 2 }+3x-4}{{ x ^ 2 }-4} > 0 \\ & \dfrac{-{ x ^ 2 }+3x+4}{{ x ^ 2 }-4} < 0 \\ \end{align} \right. $

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là $ \left[ \begin{align} & x < -4 \\ & -1 < x < 1 \\ & x > 4 \\ \end{align} \right. $.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $ S=\left( -\infty ,-4 \right)\cup \left( -1,1 \right)\cup \left( 4,+\infty \right) $.

Hàm số \(y=\ln \left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\) xác định khi \({{x}^{2}}-2x-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x<-1 \\
& x>3 \\
\end{align} \right.\Rightarrow D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)\).