Xác định dấu của nghiệm phương trình bậc 2

Phương trình có $\Delta ={{3}^{2}}+4.7=37 > 0$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-7 \end{array} \right.$ .

Khi đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{3}^{2}}-2.(-7)=23.$

Phương trình có $\Delta ={{5}^{2}}+4=29 > 0.$

Hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \end{array} \right..$

Khi đó:

$\begin{array}{l} & x_{1}^{4}+x_{2}^{4}={{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{\left[ {{5}^{2}}-2.(-1) \right]}^{2}}-2{{(-1)}^{2}}=727 \end{array}$

Phương trình có $\Delta ={{3}^{2}}+4=13 > 0$

Hệ thức Vi-ét $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \end{array} \right..$

$\begin{array}{l} & P=\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}+1}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+1}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}{\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)} \\ & =\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1} \\ & =\dfrac{{{3}^{2}}+3-2.(-1)}{(-1)+3+1}=\dfrac{14}{3}. \end{array}$

$\begin{array}{l} & 3x(x-2)+(x-1)(x-3)+2=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+{{x}^{2}}-4x+3+2=0 \\ & \Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-10x+5=0. \end{array}$

Phương trình có $\Delta '={{5}^{2}}-4.5=5 > 0$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{5}{2} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{5}{4} \end{array} \right..$

Khi đó $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{3}}-3.\dfrac{5}{4}.\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{4}.$

Phương trình có $\Delta '={{2}^{2}}-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}\,\, > 0$

Hệ thức Vi-ét $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right..$

Khi đó: $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-3.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{16-3\sqrt{2}}{2}.$

Phương trình có: $\Delta ={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-4.(-2)=11 > 0$

Ta có hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\sqrt{3} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2 \end{array} \right.$

Khi đó: $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{3-2(-2)}{-2}=-\dfrac{7}{2}.$

Phương trình có $\Delta '={{(-3)}^{2}}-3.2=3 > 0$

Ta có hệ thức Vi-ét $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{2}{3} \end{array} \right..$

Khi đó: $A=\dfrac{1-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{2-2.\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}}=1.$

$x\left( 2x-1 \right)+3x-2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0.$

Phương trình có $\Delta ={{1}^{2}}-4.1.(-1)=5\, > 0$

Hệ thức Vi-ét $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \end{array} \right.$ .

Khi đó: $P=\dfrac{x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}}{3{{x}_{1}}x_{2}^{2}+3x_{1}^{2}{{x}_{2}}}=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}=\dfrac{{{(-1)}^{2}}+2(-1)}{3.(-1).(-1)}=-\dfrac{1}{3}.$

Đặt $t={{x}^{2}}+4x$ ta có phương trình

$t(t+5)-14=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+5t-14=0\,\,\,\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=-7 \\ & t=2 \end{array} \right..$

Với $t=-7\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}+4x=-7\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+7=0$ (phương trình vô nghiệm)

Với $t=2$ $\Rightarrow \,{{x}^{2}}+4x=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-2=0\,\,\,(1)$

Phương trình (1) có $ac=-2 < 0$

$\Rightarrow$ (1) có 2 nghiệm trái dấu ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2.$

$\begin{array}{l} & 2\left( {{x}^{2}}-1 \right)+3x-5=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+3x-7=0 \end{array}$

Phương trình có $\Delta ={{3}^{2}}-4.2(-7)=65 > 0$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{3}{2} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\dfrac{7}{2} \end{array} \right.$.

Khi đó $P={{x}_{1}}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}{{x}_{2}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\left( -\dfrac{7}{2} \right).\left( -\dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{21}{4}$ .

$\begin{array}{l} & {{x}^{3}}-15x+22=0 \\ & \Leftrightarrow (x-2)\left( {{x}^{2}}+2x-11 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2 \\ & {{x}^{2}}+2x-11=0\,\,\,(1) \end{array} \right. \end{array}$

Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm $x_1;x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2.$

Phương trình có $\Delta ={{(m+2)}^{2}}-8m={{m}^{2}}-4m+4={{(m-2)}^{2}}\ge 0$

Hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m \end{array} \right..$

$P={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(m+2)}^{2}}-4.2m={{\left( m-2 \right)}^{2}}$

$\begin{array}{l} & {{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}} \right)-\left( 3{{x}^{3}}+3x \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-3x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=0\,\,\,(1) \end{array}$

Phương trình (1) có $\Delta ={{3}^{2}}-4=5\, > 0$

Hệ thức Vi-ét $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1 \end{array} \right..$

Khi đó: $A={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-1=2.$