Định nghĩa tích vô hướng cả hai vectơ

Định nghĩa tích vô hướng cả hai vectơ

4.5/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Định nghĩa tích vô hướng cả hai vectơ

Lý thuyết về Định nghĩa tích vô hướng cả hai vectơ

Định nghĩa tích vô hướng cả hai vectơ
       Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$là một số, kí hiệu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, được xác định bởi
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a,}\overrightarrow{b} \right)$
Ví dụ:
Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng tâm G .Tính các tích vô hướng sau
$\begin{align}& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{AB} \\  &\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC};\overrightarrow{BG}.\overrightarrow{GA};\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{BC} \\ \end{align}$

Giải.
  
 
          Theo định nghĩa ta có
$\begin{align}& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}} \\ & \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=a.a.\cos {{120}^{o}}=-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}} \\ & \overrightarrow{AG}.\overrightarrow{AB}=a\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.a.\cos {{30}^{o}}={{a}^{2}}\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}} \\ & \overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}=a\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.a\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.\cos {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6} \\ & \overrightarrow{BG}.\overrightarrow{GA}=a\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.a\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6} \\ & \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{BC}=a\dfrac{\sqrt[{}]{3}}{3}.a.\cos {{90}^{0}}=0 \\ \end{align}$

Bình phương vô hướng
Bình phương vô hương của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tính góc giữa hai vectơ $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ biết $ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right| $ , ( $ \overrightarrow{a} $ , $ \overrightarrow{b} $ $ \ne \overrightarrow{0} $ ).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} \vec a.\vec b = \frac{1}{2}\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{1}{2}\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{1}{2} \end{array}$

nên $ \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{60}^{\text{o}}} $

Câu 2: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $ có $ AC=9 $ , $ BC=5 $ . Tính $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=81 $

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ có đường cao $ BH $ ( $ H $ ở trên cạnh $ AC $ ).Câu nào sau đây đúng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=\left( \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA} \right).\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{CA}=AH.AC $