Định nghĩa hai vectơ bằng nhau

Giả sử: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}$ (Vô lý)

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì $ABCD$ là hình bình hành

Từ hình vẽ trên ta thấy các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{ED}$ .

Điều kiện cần và đủ để O là trung điểm $AB$  là  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

$E$ là trung điểm của $DC$ nên ta có $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EC}$.

Hai vecto bằng nhau khi chúng:

- Cùng độ dài

- Cùng hướng

Nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{CD} \right| \\ \overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{CD} \end{array} \right.$

Hay $ABDC$ là hình bình hành

Theo định nghĩa, hai véc tơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài

$AC,BD$ cắt nhau tại $E$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$ không cùng phương nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ là sai

Các vectơ bằng vecto $\overrightarrow{BA}$ là: $\overrightarrow{BA};\overrightarrow{OF};\overrightarrow{DE};\overrightarrow{CO}$

Ta có $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài là khẳng định đúng.

Các véc tơ khác $\overrightarrow{0}$ lập được từ 2 trong 3 đỉnh $A,\,B,\,C$ là $\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BA},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{CA},\,\overrightarrow{BC},\,\overrightarrow{CB}$ nên có 6 vectơ.

Vì $H$ là trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow$ $CH\bot AB$

Ta có  $\Delta BAB'$ vuông tại $A\Rightarrow B'A\bot AB$

Suy ra $AB'//CH$.

Mà lại có $\left\{ \begin{array}{l} AH\bot BC \\ B'C\bot BC \end{array} \right.\Rightarrow AH//B'C$.

Từ đó ta có$AHCB'$ là hình bình hành.

Vậy  $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}$.

Theo giả thiết: $\dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{k}\Rightarrow JI//DC//AB$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{JI}\Rightarrow AB=JI$

Mà: $CD=3AB\Rightarrow CD=3JI$

Vì $JI//DC$ nên xét tam giác $OCD$ ta có: $\dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{2}$

+ $\Delta OAM$ vuông tại $A$ có $AN$ là trung tuyến $\Rightarrow ON=AN=NM$.

+ $OA=ON\Rightarrow OA=AN$.

+ Tương tự ta có $OB=BN$.

+ $OA=OB\Rightarrow OA=OB=AN=BN$.

+ Suy ra $OANB$ là hình thoi $\Rightarrow$ $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{NB}$.

Ta có tam giác $DD'C$ vuông tại $C\Rightarrow D'C\bot DC$

$H$ là trực tâm tam giác $BDC\Rightarrow BH\bot DC$

$\Rightarrow D'C//BH$

Tương tự ta có $CH//BD'$

$\Rightarrow BD'CH$ là hình bình hành

Hay $\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{HC}$

Vẽ hình quan sát ta thấy các bước lời giải đều đúng

Ta có $EF//AB\Rightarrow AI$ và $EF$ cùng phương

Để $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{EF}$ thì $\left| \overrightarrow{AI} \right|=\left| \overrightarrow{EF} \right|$

Hay $AEFI$ là hình bình hành.

$\Rightarrow IF//AC\Rightarrow \dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{BI}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} AO=OC \\ EO=OF \\ \widehat{AOE}=\widehat{COF} \end{array} \right.\Rightarrow$$\Delta AEO=\Delta CFO$ (c-g-c)

$\Rightarrow AE=CF\Rightarrow ED=FB$

Hay $DEBF$ là hình bình hành

Để $DEBF$ là hình chữ nhật thì $\widehat{AEB}={{90}^{\circ }}$

Mà $\widehat{ADC}={{60}^{\circ }}\Rightarrow \overset\frown{EAB}={{60}^{\circ }}$ ( $AB//CD$ ) $\Rightarrow AB=2AE$ ( $\Delta AEB$ vuông tại E)

Lại có $AD=\dfrac{5}{3}AE\Rightarrow \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{6}{5}$