Định nghĩa hai vectơ bằng nhau
Lý thuyết về Định nghĩa hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ bằng nhau
+ Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$được kí hiệu là $\left| \overrightarrow{a} \right|$
+ Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng nhau thì ta viết $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$
Chú ý : Theo định nghĩa trên thì các vectơ không đều nhau : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{PP}=...$. Bởi vậy , từ nay các vectơ - không được kí hiệu chung là $\overrightarrow{0}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hình bình hành $ ABCD $ . Khẳng định nào sau đây là sai:
- A
- B
- C
- D
Giả sử: $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA} $ (Vô lý)
Câu 2: Cho tứ giác $ ABCD $ . Nếu $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} $ thì $ ABCD $ là hình gì? Tìm đáp án đúng
- A
- B
- C
- D
$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} $ thì $ ABCD $ là hình bình hành
Câu 3: Cho lục giác đều $ ABCDEF $ có tâm $ O $ . Có bao nhiêu vectơ bằng vectơ $ \overrightarrow{AB} $ ?
- A
- B
- C
- D
Từ hình vẽ trên ta thấy các vectơ bằng vectơ $ \overrightarrow{AB} $ là: $ \overrightarrow{FO} $ , $ \overrightarrow{OC} $ và $ \overrightarrow{ED} $ .
Câu 4: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $ O $ là trung điểm của đoạn $ AB $ ?
- A
- B
- C
- D
Điều kiện cần và đủ để O là trung điểm $ AB $ là $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0} $.
Câu 5: Cho hình thang cân $ ABCD $ có $ DC=2AB $ . $ E $ là trung điểm của $ DC $ . Khi đó, đẳng thức nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
$ E $ là trung điểm của $ DC $ nên ta có $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EC} $.
Câu 6: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} $ là
- A
- B
- C
- D
Hai vecto bằng nhau khi chúng:
- Cùng độ dài
- Cùng hướng
Nên $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{CD} \right| \\ \overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{CD} \end{array} \right. $
Hay $ ABDC $ là hình bình hành
Câu 7: Hai vectơ bằng nhau khi chúng thỏa mãn điều kiện:
- A
- B
- C
- D
Theo định nghĩa, hai véc tơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài
Câu 8: Cho hình thoi $ ABCD,E $ là giao điểm hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây là sai?
- A
- B
- C
- D
$ AC,BD $ cắt nhau tại $E$ $ \Rightarrow \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} $ không cùng phương nên $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} $ là sai
Câu 9: Cho lục giác đều $ ABCDEF $ tâm $ O. $ Số vectơ bằng vecto $ \overrightarrow{BA} $ là:
- A
- B
- C
- D
Các vectơ bằng vecto $ \overrightarrow{BA} $ là: $ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{OF};\overrightarrow{DE};\overrightarrow{CO} $
Câu 10: Cho hình bình hành $ ABCD $ tâm $ O. $ Véctơ bằng $ \overrightarrow{OC} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ O $ là trung điểm của $ AC $ nên $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC} $.
Câu 11: Chọn khẳng định đúng?
- A
- B
- C
- D
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài là khẳng định đúng.
Câu 12: Cho tam giác $ ABC $ , có tất cả bao nhiêu véctơ khác $ \overrightarrow{0} $ có điểm đầu và điểm là 2 trong 3 đỉnh $ A,\,B,\,C $ trên.
- A
- B
- C
- D
Các véc tơ khác $ \overrightarrow{0} $ lập được từ 2 trong 3 đỉnh $ A,\,B,\,C $ là $ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BA},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{CA},\,\overrightarrow{BC},\,\overrightarrow{CB} $ nên có 6 vectơ.
Câu 13: Cho tam giác $ ABC $ có trực tâm $ H $ và $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ B' $ là điểm đối xứng của $ B $ qua $ O $ . Khi đó,
- A
- B
- C
- D
Vì $ H $ là trực tâm $ \Delta ABC\Rightarrow $ $ CH\bot AB $
Ta có $ \Delta BAB' $ vuông tại $ A\Rightarrow B'A\bot AB $
Suy ra $ AB'//CH $.
Mà lại có $ \left\{ \begin{array}{l} AH\bot BC \\ B'C\bot BC \end{array} \right.\Rightarrow AH//B'C $.
Từ đó ta có$ AHCB' $ là hình bình hành.
Vậy $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C} $.
Câu 14: Cho hình thang $ ABCD $ có $ AB//CD $ và $ CD=3AB $ . $ O $ là giao điểm hai đường chéo của hình thang. Trên $ OC,OD $ lần lượt lấy hai điểm $ I,J $ sao cho $ \dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{k} $ . Tìm giá trị của $ k $ để $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{JI} $ ?
- A
- B
- C
- D
Theo giả thiết: $ \dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{k}\Rightarrow JI//DC//AB $
$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{JI}\Rightarrow AB=JI $
Mà: $ CD=3AB\Rightarrow CD=3JI $
Vì $ JI//DC $ nên xét tam giác $ OCD $ ta có: $ \dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{2} $
Câu 15: Cho $ N $ là trung điểm của đoạn $ OM $ . Vẽ đường tròn $ \left( O,ON \right) $ . Từ $ M $ kẻ hai tiếp tuyến đến $ \left( O \right) $ tiếp xúc với $ \left( O \right) $ lần lượt tại $ A,B $ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
+ $ \Delta OAM $ vuông tại $ A $ có $ AN $ là trung tuyến $ \Rightarrow ON=AN=NM $.
+ $ OA=ON\Rightarrow OA=AN $.
+ Tương tự ta có $ OB=BN $.
+ $ OA=OB\Rightarrow OA=OB=AN=BN $.
+ Suy ra $ OANB $ là hình thoi $ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{NB} $.
Câu 16: Cho tứ giác $ ABCD $ nội tiếp $ \left( O \right).B',D' $ lần lượt là điểm đối xứng của $ B,D $ qua $ O $ . $ H $ là trực tâm tam giác $ BCD $ . Chọn khẳng định sai:
- A
- B
- C
- D
Ta có tam giác $ DD'C $ vuông tại $ C\Rightarrow D'C\bot DC $
$ H $ là trực tâm tam giác $ BDC\Rightarrow BH\bot DC $
$ \Rightarrow D'C//BH $
Tương tự ta có $ CH//BD' $
$ \Rightarrow BD'CH $ là hình bình hành
Hay $ \overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{HC} $
Câu 17: Cho $ N $ là trung điểm của đoạn $ OM $ . Vẽ đường tròn $ \left( O,ON \right) $ . Từ $ M $ kẻ hai tiếp tuyến đến $ \left( O \right) $ tiếp xúc với $ \left( O \right) $ lần lượt tại $ A,B $ . Để chứng minh $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BN} $ , một bạn học sinh đã làm như sau:
Bước 1: $ \Delta OAM $ vuông tại $ A $ có $ AN $ là trung tuyến $ \Rightarrow ON=AN=NM $
Bước 2: $ OA=ON\Rightarrow OA=AN $
Bước 3: Tương tự bước 1, bước 2 ta có $ OB=BN $
Bước 4: $ OA=OB\Rightarrow OA=OB=AN=BN $
Bước 5: Suy ra: $ OANB $ là hình thoi $ \Rightarrow $
$ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BN} $
Bài giải của bạn học sinh trên:
- A
- B
- C
- D
Vẽ hình quan sát ta thấy các bước lời giải đều đúng
Câu 18: Cho tam giác $ ABC $ . Trên cạnh $ AC $ lấy điểm $ E $ sao cho $ AC=3AE. $ Kẻ $ EF//AB $ $ \left( F\in BC \right) $ . Trên đoạn $ AB $ lấy điểm $ I $ sao cho $ \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{EF}. $ Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ EF//AB\Rightarrow AI $ và $ EF $ cùng phương
Để $ \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{EF} $ thì $ \left| \overrightarrow{AI} \right|=\left| \overrightarrow{EF} \right| $
Hay $ AEFI $ là hình bình hành.
$ \Rightarrow IF//AC\Rightarrow \dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{BI} $.
Câu 19: Cho hình bình hành $ ABCD $ tâm $ O $ có $ \widehat{ADC}={{60}^{\circ }} $ . Trên $ DA $ lấy $ E $ sao cho $ \overrightarrow{AD}=-\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AE} $ . $ EO\cap BC=F $ . Điều kiện để $ DEBF $ là hình chữ nhật là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} AO=OC \\ EO=OF \\ \widehat{AOE}=\widehat{COF} \end{array} \right.\Rightarrow $$ \Delta AEO=\Delta CFO $ (c-g-c)
$ \Rightarrow AE=CF\Rightarrow ED=FB $
Hay $ DEBF $ là hình bình hành
Để $ DEBF $ là hình chữ nhật thì $ \widehat{AEB}={{90}^{\circ }} $
Mà $ \widehat{ADC}={{60}^{\circ }}\Rightarrow \overset\frown{EAB}={{60}^{\circ }} $ ( $ AB//CD $ ) $ \Rightarrow AB=2AE $ ( $ \Delta AEB $ vuông tại E)
Lại có $ AD=\dfrac{5}{3}AE\Rightarrow \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{6}{5} $