Bất đẳng thức cơ bản

Ta có $a > b\Leftrightarrow a+b > 2b\Leftrightarrow \dfrac{a+b} 2 > b$

$a > b\Leftrightarrow 2a > a+b\Leftrightarrow a > \dfrac{a+b} 2$

$\Rightarrow b < \dfrac{a+b} 2 < a$

Với mọi số thực $m, n$ và $x > 1$ thì ta có $m > n\Leftrightarrow { x ^ m } > { x ^ n }$

Ta có ${ a ^ 2 }+ a b+{ b ^ 2 }={{\left( a+\dfrac{b}{2} \right)}^ 2 }+\dfrac{3}{4} { b ^ 2 } > 0$.

Ta có: $\sqrt{a-1}=\sqrt{(a-1).1}\le \dfrac{1+a-1} 2$

$\Rightarrow$ $b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab} 2$

Vì ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên   ${a^2} + {b^2} \ge 2{\rm{a}}b$.

Ta có $a < b\Leftrightarrow 3a < 3b\Leftrightarrow 3 a +2c < 3b+2c$

${ a ^ 2 } > { b ^ 2 }\Leftrightarrow a > b$ với $a,b > 0$

Vì $a > b,c > d$  cộng vế với vế ta được $a+c > b+d$.

Vì $\left\{ \begin{align} & a > b > 0 \\ & c > d > 0 \\ \end{align} \right.$ nên nhân vế - vế ta có $ac > b d$.

Ta có: $\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\sqrt {{x^2} + x + 1} } = 2\sqrt[4]{{{x^4} + {x^2} + 1}} \ge 2$ (Do $x^4 + x^2 \ge 0 \forall x \in \mathbb{R}$)

Dự đoán $a=2,b=3,c=4$

Ta có:

$4 S =4 a +4b+4c+\dfrac{12} a +\dfrac{18} b +\dfrac{16} c$

$=a+2b+3c+\left( 3 a +\dfrac{12} a \right)+\left( 2b+\dfrac{18} b \right)+\left( c+\dfrac{16} c \right)$

$\Rightarrow 4 S \ge 20+3.2.2+2.2.3+2.4  \Rightarrow S\ge 13$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 13.

Ta có $S=a+\dfrac{1}{{}{ a ^ 2 }}=\dfrac{\text{6a}} 8 +\left[ \dfrac{a}{8} +\dfrac{a}{8} +\dfrac{1}{{}{ a ^ 2 }} \right]\ge \dfrac{12} 8 +3\sqrt[3]{\dfrac{a}{8} .\dfrac{a}{8} .\dfrac{1}{{}{ a ^ 2 }}}=\dfrac{12} 8 +\dfrac{3}{4} =\dfrac{9}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=2$.

$\begin{align} & \left( 1+\dfrac{1}{a} \right)\left( 1+\dfrac{1}{b} \right)\ge 9\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge 9 a b \\ & \Leftrightarrow a+b+1\ge 8 a b \\ & \Leftrightarrow 1\ge 4 a b \\ & \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^ 2 }\ge 4 a b \\ & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^ 2 }\ge 0. \\ \end{align}$

Ta có  $B=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2}{x} =\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x} x +1\ge 1+2\sqrt{\dfrac{9x}{2-x}.\dfrac{2-x} x }=7$.

Ta có$S=ab+\dfrac{1}{{}ab}=\left( ab+\dfrac{1}{{}16 a b} \right)+\dfrac{15}{16 a b}\ge 2\sqrt{ab.\dfrac{1}{{}16 a b}}+\dfrac{15}{16{{\left( \dfrac{a+b} 2 \right)}^ 2 }}=\dfrac{17} 4$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$.

Ta có $f\left( x \right)=x+\dfrac{2}{{}x-1}=x-1+\dfrac{2}{{}x-1}+1$.

Vì $x > 1$ nên $x-1 > 0$ $\Rightarrow \dfrac{2}{{}x-1} > 0$

$\Rightarrow f\left( x \right)=x+\dfrac{2}{{}x-1}=x-1+\dfrac{2}{{}x-1}+1\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right).\dfrac{2}{{}x-1}}+1=2\sqrt{2} +1$.

Ta có: $S=a+\dfrac{1}{a} =\dfrac{8 a } 9 +\left[ \dfrac{a}{9} +\dfrac{1}{a} \right]\ge \dfrac{24} 9 +2\sqrt{\dfrac{a}{9} .\dfrac{1}{9} }=\dfrac{10} 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=3$