Diện tích tam giác
Lý thuyết về Diện tích tam giác
Diện tích tam giác
Với tam giác ABC, ta kí hiệuha,hb,hc là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác.
Ta có thể tính diện tích S của tam giác ABC bằng các công thức sau đây:
$\begin{align}& S=\dfrac{1}{2}a{{h}_{a}}=\dfrac{1}{2}b{{h}_{b}}=\dfrac{1}{2}c{{h}_{c}}\left( 1 \right) \\ & S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}bc\sin A\left( 2 \right) \\ & S=\dfrac{abc}{4R}\left( 3 \right) \\ & S=pr\left( 4 \right) \\ & S=\sqrt[{}]{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}\left( 5 \right) \\ \end{align}$
Công thức (5) gọi là công thức Hê- rông
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho $ \Delta ABC $ có $ S=10\sqrt{3} $ , nửa chu vi $ p=10 $ . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $ r $ của tam giác trên là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}. $
Câu 2: Cho các điểm $ A(1;-2),B(-2;3),C(0;4). $ Diện tích $ \Delta ABC $ bằng bao nhiêu ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \overrightarrow{AB}=(-3;5)\Rightarrow AB=\sqrt{34}, $ $ \overrightarrow{AC}=(-1;6)\Rightarrow AC=\sqrt{37}, $ $ \overrightarrow{BC}=(2;1)\Rightarrow BC=\sqrt{5} $
Mặt khác $ p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{\sqrt{37}+\sqrt{34}+\sqrt{5}}{2} $ .
Suy ra: $ S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\dfrac{13}{2} $
Câu 3: Cho $ \Delta ABC $ có $ S=84,a=13,b=14,c=15. $ Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $ R $ của tam giác trên là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a.b.c}{4R}\Leftrightarrow R=\dfrac{a.b.c}{4S}=\dfrac{13.14.15}{4.84}=\dfrac{65}{8} $
Câu 4: Tính chu vi tam giác $ ABC $ biết $ AB=6 $ và $ 2\sin A=3\sin B=4\sin C $ .
- A
- B
- C
- D
Theo định lý sin trong tam giác ta có : $ \dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=2R\Rightarrow R\sin C=\dfrac{AB}{2}=3 $ .
Từ $ 2\sin A=3\sin B=4\sin C\Leftrightarrow 2R\sin A=3R\sin B=4R\sin C $ .
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& R\sin A=\dfrac{4R\sin C}{2}=\dfrac{4.3}{2}=6 \\
& R\sin B=\dfrac{4R\sin C}{3}=\dfrac{4.3}{3}=4 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& BC=2R\sin A=12 \\
& AC=2R\sin B=8 \\
\end{array} \right. $ .
Vậy chu vi tam giác $ ABC $ bằng : $ 6+8+12=26 $ .
Câu 5: Tam giác $ ABC $ có $ a=5,b=4,c=3 $ . Lấy điểm $ D $ đối xứng $ B $ qua $ C $ . Độ dài đoạn $ AD $ là
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ ABC $ có $ {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} $ , suy ra tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ .
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác $ ABD $ ta có:
$ A{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}-2.AB.BD.\cos \widehat{ABD} $
$ =A{{B}^{2}}+{{\left( 2BC \right)}^{2}}-2.AB.2BC.\dfrac{AB}{BC} $
$ ={{3}^{2}}+{{\left( 2.5 \right)}^{2}}-2.3.2.5.\dfrac{3}{5}=73 $ .
Suy ra : $ AD\approx 8,5 $ .
Câu 6: Một tam giác có ba cạnh là $ 13,14,15 $ . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{13+14+15}{2}=21 $ .
Suy ra: $ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=84 $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới