Toạ độ của điểm
Lý thuyết về Toạ độ của điểm
Toạ độ của điểm
Trong măt phẳng toạ độ Oxy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ được gọi là toạ độ của điểm M
Tổng quát: Với hai điểm
$\begin{align}& M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right),N\left( {{x}_{N}};{{y}_{N}} \right) \\ & \overrightarrow{MN}=\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}};{{y}_{N}}-{{y}_{M}} \right) \\ \end{align}$
Chú ý: Để thuận tiện, ta thường dùng kí hiệu $\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ là tọa độ của điểm M.
1. Nếu P là trung điểm của đoạn thẳng MN thì
${{x}_{p}}=\dfrac{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}}{2};{{y}_{p}}=\dfrac{{{y}_{M}}+{{y}_{N}}}{2}$
2. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
${{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};{{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}$
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho các điểm A(2:0),B(0:4),C(1:3)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của tam giác
b) Tìm toạ độ của trọng tâm tam giác ABC
Giải:
a) Ta có$\overrightarrow{AB}=\left( -2;4 \right)$và $\overrightarrow{AC}=\left( -1;3 \right)$
Do $\dfrac{-2}{-1}\ne \dfrac{4}{3}$ nên$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$không cùng một phương, suy ra A, B, C không thẳng hàng và chúng là ba đỉnh của một tam giác.
b) Ta có $\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\dfrac{2+0+1}{3}=1$ và $\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\dfrac{0+4+3}{3}=\dfrac{7}{3}$
Vậy tọa độ của trọng tâm tam giác ABC là (1;$\dfrac{7}{3}$)
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ cho $ A\left( -5;2 \right),B\left( 10;8 \right) $ . Tọa độ của vectơ $ \overrightarrow{AB} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)=\left( 10+5;8-2 \right)=\left( 15;6 \right) $.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , cho ba vectơ $ \overrightarrow{a}=\left( 1;\,3 \right) $ , $ \overrightarrow{b}=\left( 1;-\,2 \right) $ , $ \overrightarrow{c}=\left( 3;-\,1 \right) $ . Biết $ \overrightarrow{a}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c} $ . Tính $ A=xy-x-y. $
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \overrightarrow{a}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+3y=1 \\ -2x-y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2 \\ y=1 \end{array} \right.. $
Do đó $ A=xy-x-y=-1. $
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {x; - 1} \right)$ , $ \overrightarrow{b}=\left( -1;\,2 \right) $ . Giá trị của $ x $ để hai vectơ $ \overrightarrow{a} $ và $ \overrightarrow{b} $ cùng phương là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \overrightarrow{a} $ và $ \overrightarrow{b} $ cùng phương nên $ \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b} $ $ \Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2} $.
Câu 4: Cho \[ \overrightarrow{u} \]$ =\left( 3;-2 \right), $\[ \overrightarrow{v} \]\[ =\left( 4;0 \right), \]\[ \overrightarrow{w} \]\[ =\left( 3;2 \right). \] Câu nào sau đây đúng ?
- A
- B
- C
- D
Xét \[2\vec u{\rm{ \;}} - 3\vec v{\rm{ \;}} = 2\left( {3; - 2} \right) - 3\left( {4;0} \right) = \left( { - 6; - 4} \right) = {\rm{ \;}} - 2\left( {3;2} \right) = {\rm{ \;}} - 2\overrightarrow {\rm{w}} \]
Vậy \[2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v = - 2\overrightarrow w \] đúng
Câu 5: Cho $ M\left( 2;\text{ }0 \right) $ , $ N\left( 2;\text{ }2 \right),Q\left( 1;-1 \right) $ , $ Q $ là trọng tâm tam giác $ MNP. $ Khi đó tọa độ $ P $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{P}}=3{{x}_{Q}}-{{x}_{M}}-{{x}_{N}}=-1 \\ {{y}_{P}}=3{{y}_{Q}}-{{y}_{M}}-{{y}_{N}}=-5 \end{array} \right.\Rightarrow B\left( -1;-5 \right) $
Câu 6: Cho hai vectơ $ \overrightarrow{a} $ $ =\left( 2;4 \right), $ $ \overrightarrow{b} $ $ =\left( 5;3 \right). $ Tọa độ vectơ $ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $ là
- A
- B
- C
- D
$ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left( 2.2-5;2.4-3 \right)=\left( -1;5 \right) $.
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , cho hai vectơ $ \overrightarrow{a}=\left( 1;\,-1 \right) $ , $ \overrightarrow{b}=\left( 0;\,2 \right) $ . Đặt $ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a} $ . Tọa độ vecto $\overrightarrow x $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $\overrightarrow x = \overrightarrow b - 2\overrightarrow a = \left( {0 - 2.1;2 - 2.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 2;4} \right)$.
Vậy $\overrightarrow x = \left( { - 2;\,4} \right)$.
Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm $ A\left( 1;-3 \right) $ và $ B\left( 3;1 \right) $ . Tọa độ trung điểm $ I $ của đoạn $ AB $ là
- A
- B
- C
- D
Áp dụng công thức trung điểm, ta có
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{I}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2 \\ {{y}_{I}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\dfrac{1-3}{2}=-1 \end{array} \right.\Rightarrow I\left( 2;-1 \right) $.
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , cho ba điểm $ A\left( 1;\,2 \right) $ , $ B\left( 3;-2 \right) $ , $ C\left( 2;3 \right) $ . Tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ là
- A
- B
- C
- D
Áp dụng công thức trọng tâm của tam giác, ta có
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=2 \\ {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=1 \end{array} \right.\Rightarrow G\left( 2;\,1 \right). $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới