Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Lý thuyết về Điều kiện để hai vectơ cùng phương
+ Vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$($\overrightarrow{a}$≠0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$
+ Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B ,C thẳng hàng là có số k sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Xét các phát biểu sau: (1) Điều kiện cần và đủ để $ C $ là trung điểm của đoạn $ AB $ là $ \overrightarrow{BA}=-2\overrightarrow{AC} $
(2) Điều kiện cần và đủ để $ C $ là trung điểm của đoạn $ AB $ là $ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA} $
(3) Điều kiện cần và đủ để $ M $ là trung điểm của đoạn $ PQ $ là $ \overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PM} $
Trong các câu trên, thì:
(1) Điều kiện cần và đủ để $ C $ là trung điểm của đoạn $ AB $ là $ \overrightarrow{BA}=-2\overrightarrow{AC} $
(2) Điều kiện cần và đủ để $ C $ là trung điểm của đoạn $ AB $ là $ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA} $
(3) Điều kiện cần và đủ để $ M $ là trung điểm của đoạn $ PQ $ là $ \overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PM} $
Trong các câu trên, thì:
- A
- B
- C
- D
Ta có
(1) Điều kiện cần và đủ để $ C $ là trung điểm của đoạn $ AB $ là $ \overrightarrow{BA}=-2\overrightarrow{AC} $
(3) Điều kiện cần và đủ để $ M $ là trung điểm của đoạn $ PQ $ là $ \overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PM} $
Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để $ C $ là trung điểm của đoạn $ AB $ là $ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC} $
Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.
Câu 2: Cho tam giác $ ABC $ . Tập hợp những điểm $ M $ sao cho: $ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB} \right| $ là:
- A
- B
- C
- D
Gọi $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ BC $ . Khi đó:
$ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB} \right|\Leftrightarrow 2\left| \overrightarrow{MI} \right|=2\left| \overrightarrow{MJ} \right|\Leftrightarrow MI=MJ $
Vậy $ M $ nằm trên đường trung trực của $ IJ $ .
Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ . Tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $ \left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA} \right| $ là?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA} \right| $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{CB} \right|=\left| \overrightarrow{AM} \right| \\ \Rightarrow AM=BC \end{array} $
Mà $ A,B,C $ cố định
$ \Rightarrow $ Tập hợp điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ , bán kính $ BC $
Câu 4: Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $ M $ tùy ý. Cho vectơ $ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} $ . Hãy xác định vị trí của điểm $ D $ sao cho $ \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v} $
- A
- B
- C
- D
Ta có:
$ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI} $ (Với $ I $ là trung điểm của $ AB $ )
$ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{v} $ không phụ thuộc vào vị trí điểm $ M $
Khi đó: $ \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CI}\Rightarrow I $ là trung điểm của $ CD $
Vậy $ D $ là điểm thứ tư của hình bình hành $ ACBD $
Câu 5: Cho tam giác $ ABC. $ Gọi $ I $ là trung điểm $ AB. $ Hai điểm $ K,M $ thỏa mãn các đẳng thức $ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \end{array} \right. $ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
+ $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB} $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0} \end{array} $
$ \Rightarrow K $ là trọng tâm tam giác $ ABC $
+ $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} $
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} $
$ \Rightarrow M $ là trung điểm của $ IC $
Câu 6: Cho hình chữ nhật $ ABCD $ . Tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right| $ là
- A
- B
- C
- D
Gọi $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ DC $ .
$ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right|\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{ME} \right|=\left| 2\overrightarrow{MF} \right|\Leftrightarrow ME=MF $.
Do đó $ M $ thuộc đường trung trực của đoạn $ EF $ hay $ M $ thuộc đường trung trực của cạnh $ AD $.
Câu 7: Cho tam giác $ ABC $. Tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $ \left| \,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\, \right|=6 $ là
- A
- B
- C
- D
Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $ , ta có $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ .
Khi đó, ta có
$ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=6\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{MG} \right|=6\Leftrightarrow MG=2 $.
Hay tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ ABC $ và bán kính bằng $ 2 $.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới