Các ký hiệu ∀ và ∃
Lý thuyết về Các ký hiệu ∀ và ∃
a) Kí hiệu ∀
Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ với $x\in X$. Khi đó khẳng định:
“Với mọi $x \in X$, $P(x)$ đúng” (hay “$P(x)$ đúng với mọi x thuộc X”) (1) là 1 mệnh đề.
Mệnh đề này đúng nếu với $x_0 \in X$, $P(x_0)$ là mệnh đề đúng.
Mệnh đề này sai nếu có $x_0 \in X$ sao cho $P(x_0)$ là mệnh đề sai
Mệnh đề (1) được ký hiệu là: \[\forall {\rm{\;}}x \in X,P(x)\] hoặc \[\forall {\rm{\;}}x \in X: P(x)\]
Ký hiệu $\forall$ đọc là “với mọi”
b) Kí hiệu ∃
Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ với \[x \in X\]. Khi đó khẳng định:
“Tồn tại x thuộc X để P(x) đúng” $(2)$ là 1 mệnh đề.
Mệnh đề này đúng nếu có $x_0 \in X$, $P(x_0)$ là mệnh đề đúng.
Mệnh đề này sai nếu với mọi $x_0 \in X$ sao cho $P(x_0)$ là mệnh đề sai
Mệnh đề $(2)$ được kí hiệu là: \[\exists x \in X,P\left( x \right)\] hoặc \[\exists x \in X:P\left( x \right)\]
Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Mệnh đề phủ định của mệnh đề ''$ \forall x\in R,{ x ^ 2 } > 0 $'' là
- A
- B
- C
- D
Phủ định của "Với mọi" là "tồn tại".
Phủ định của " > " là " $ \le $ ".
Vậy ta có mệnh đề phủ định là ''$ \exists x\in R,{ x ^ 2 }\le 0$''.
Câu 2: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ { n ^ 2 }-2=0\Leftrightarrow n=\pm \sqrt{2} \in R $ từ đó suy ra $ \exists n\in R,{ n ^ 2 }-2=0 $
Câu 3: Mệnh đề "Có ít nhất một số tự nhiên khác 0" mô tả mệnh đề nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Mệnh đề đã cho tương ứng với: "Tồn tại $ x\in N $ sao cho $ x\ne 0 $ "
Câu 4: Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề "Trong vũ trụ tồn tại một hành tinh mà mọi địa điểm trên bề mặt hành tinh đó có nhiệt độ nhỏ hơn $ -{{100}^ 0 }C $ ".
- A
- B
- C
- D
Phủ định của "tồn tại" là "Với mọi"
Phủ định của "mọi" là "có ít nhất một"
Phủ định của "nhỏ hơn" là "lớn hơn hoặc bằng"
Vậy ta có mệnh đề phủ định là: "Trong vũ trụ mọi hành tinh đều có ít nhất một địa điểm trên bề mặt có nhiệt độ lớn hơn hoặc bằng $ -{{100}^ 0 }C $ ".
Câu 5: Mệnh đề "Bình phương mọi số thực đều không âm" mô tả mệnh đề nào dưới đây?
- A
- B
- C
- D
Với mọi $ x\in R $ ta luôn có $ { x ^ 2 }\ge 0 $.
Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A
- B
- C
- D
Với $ n=0 $ ta có $2.0 = 0$ luôn đúng. Nên mệnh đề $ \exists n\in Z:2n=n $ là mệnh đề đúng.
Câu 7: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề $ \exists x\in Q,{ x ^ 2 }-3=0 $
- A
- B
- C
- D
Phủ định của "tồn tại" là "Với mọi"
Phủ định của "=" là " $ \ne $ "
Vậy ta có mệnh đề phủ định là: $ \forall x\in Q,{ x ^ 2 }-3\ne 0 $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới