Các phép toán trên tập số phức

Các phép toán trên tập số phức

4.4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Các phép toán trên tập số phức

Lý thuyết về Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức $z_1 = a_1 + b_1 i\,\,(a_1, b_1 \in \mathbb{R})$ và $z_2 = a_2 + b_2 i\,\,(a_2, b_2 \in \mathbb{R})$. Khi đó ta có các phép toán:

  • Phép cộng: $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$.
  • Phép trừ: $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.
  • Phép nhân: $z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$.
  • Phép chia: Khi $z_2 \ne 0$ thì$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \dfrac{(a_1 a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$.
  • Số phức nghịch đảo của $z=a+bi\ne 0$$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{\overline{z}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.$

Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ở trên cũng có đầy đủ các quy tắc và tính chất giống như đối với phép toán của các số thực đã học

Ví dụ.

  1. $\left( 5+2i \right)+\left( 3+7i \right) =\left( 5+3 \right)+\left( 2+7 \right)i =8+9i$
  2. $\left( 1+6i \right)-\left( 4+3i \right) =\left( 1-4 \right)+\left( 6-3 \right)i =-3+3i$
  3. $\left( 5+2i \right)\left( 4+3i \right) = 20+15i+8i+6{{i}^{2}} = \left( 20-6 \right)+\left( 15+8 \right)i =14+23i$.
  4.  $\dfrac{3+2i}{2+3i}=\dfrac{\left( 3+2i \right)\left( 2-3i \right)}{\left( 2+3i \right)\left( 2-3i \right)}=\dfrac{12-5i}{13}=\dfrac{12}{13}-\dfrac{5}{13}i$.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho số phức $ z=1+3i. $ Số phức $ {{z}^{2}} $ có phần thực là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

\[{z^2} = {\left( {1 + 3i} \right)^2} =  - 8 + 6i\]

Câu 2: Cho hai số phức$z,w$ thỏa mãn$z+\text{w}=4+3i,z-iw=3-2i$. Khi đó $z$ bằng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Lấy PT đầu trừ PT thứ hai ta được PT: $\left( 1+i \right)\text{w}=1+5i\Leftrightarrow \text{w}=\dfrac{1+5i}{1+i}=3+2i$
$\Rightarrow z=4+3i-\left( 3+2i \right)=1+i$

Câu 3: Tổng tất cả số phức z thỏa mãn \(z-\overline{z}={{z}^{2}}\) bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

\(\begin{array}{l} z - \overline z = {z^2} \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) - \left( {a - bi} \right) = {\left( {a + bi} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2bi = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 2abi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - {b^2} = 0\\ 2b = 2ab \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b = 0\\ a = 1;b = \pm 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 0;z = 1 \pm i \end{array}\)

 

$a = b = 0,a = b = 1,a = 1,b = - 1$

Câu 4: Số phức $z$ thỏa mãn $2\left( z+2-3i \right)i+2i=6-2i$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $2\left( z+2-3i \right)i+2i=6-2i\Leftrightarrow 2\left( z+2-3i \right)i=6-4i$
$\Leftrightarrow z+2-3i=\dfrac{6-4i}{2i}\Leftrightarrow z=\dfrac{6-4i}{2i}-2+3i=-4$

Câu 5: Cho số phức $ {{z}_{1}}=1+2i $ và $ {{z}_{2}}=-2-2i $ . Tìm môđun của số phức $ {{z}_{1}}-{{z}_{2}} $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \left( 1+2i \right)-\left( -2-2i \right) \right|=\left| 3+4i \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5 $ .

Câu 6: Tổng của hai số phức $ {{z}_{1}}=1-2i,{{z}_{2}}=1-3i $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tổng của hai số phức $ {{z}_{1}}=1-2i,{{z}_{2}}=1-3i $ là $ z=1-2i+1-3i=2-5i $ .

Câu 7: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=2+5i;{{z}_{2}}=3-4i $ . Tìm số phức $ z={{z}_{1}}.{{z}_{2}} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ z={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2+5i \right)\left( 3-4i \right)=6-8i+15i-20{{i}^{2}}=26+7i $ .

Câu 8: Biết $z$ thỏa mãn $z=2i-z$. Phần ảo của số phức $z$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $z=2i-z\Leftrightarrow z=\dfrac{2i}{2}=i$, có phần ảo là $1.$

Câu 9: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=2+3i $ và $ {{z}_{2}}=1-2i $ . Tìm khẳng định sai ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tổng của hai số phức là $ {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2+3i+1-2i=3+i $

Hiệu của hai số phức là $ {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2+3i-1+2i=1+5i $

Tích của hai số phức là $ {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2+3i \right)\left( 1-2i \right)=2-4i+3i-6{{i}^{2}}=8-i $ .

Câu 10: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=i;{{z}_{2}}=1+2i $ . Tìm số phức $ z={{z}_{1}}.{{z}_{2}} $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ z={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=i\left( 1+2i \right)=i+2{{i}^{2}}=i-2 $ .

Câu 11: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=5+2i $ và $ {{z}_{2}}=4+3i $ . Số phức liên hợp của số phức $ w={{z}_{1}}.{{z}_{2}} $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ w={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 5+2i \right)\left( 4+3i \right)=20+15i+8i+6{{i}^{2}}=14+23i $

Do đó số phức liên hợp của số phức $ w $ là $ 14-23i $ .

Câu 12: Cho 2 số phức ${{z}_{1}}=1+3i,{{z}_{2}}=3$. Số phức liên hợp của số \(\text{w}={{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

\(w=-2+3i\Rightarrow \overline{w}=-2-3i\)

Câu 13: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=1+i $ và $ {{z}_{2}}=2-3i $ . Tính môđun của số phức $ {{z}_{1}}+{{z}_{2}} $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=1+i+2-3i=3-2i $

$ \Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{13} $ .

Câu 14: Số phức liên hợp của số phức $z=3i(1-2i)$ là 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có : $z=3i(1-2i)=6+3i\Rightarrow \overline{z}=6-3i$.

Câu 15: Số phức liên hợp của số phức $z=i\left( 1+i \right)$ có phần ảo bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $z=i\left( 1+i \right)=-1+i\Rightarrow \overline{z}=-1-i$

Câu 16: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=5-7i$ và ${{z}_{2}}=2+3i$. Tìm số phức $z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=5-7i+2+3i=7-4i$

Câu 17: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=5+2i $ và $ {{z}_{2}}=3+7i $ . Phần thực và phần ảo của số phức $ w={{z}_{1}}+{{z}_{2}} $ lần lượt là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=5+2i+3+7i=8+9i $ .

Vậy phần thực và phần ảo của số phức $ w $ lần lượt là $ 8 $ và $ 9 $ .

Câu 18: Cho số phức $z=-1+2i$. Số phức \(w=2z\) có mô-đun bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cách 1: Ta có \(w=2z=-2+4i\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{5}\)
Cách 2: Dùng casio.

Câu 19: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=1-3i $ và $ {{z}_{2}}=-2-5i $ . Tìm phần ảo $ b $ của số phức $ z={{z}_{1}}-{{z}_{2}} $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=1-3i+2+5i=3+2i $

Vậy phần ảo của số phức $ z $ là $ b=2 $ .

Câu 20:

Cho hai số phức ${{z}_{1}}=4-3i$ và ${{z}_{2}}=7+3i$. Tìm số phức $z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( 4-3i \right)-\left( 7+3i \right)=\left( 4-7 \right)+\left( -3i-3i \right)=-3-6i$

Câu 21: Cho hai số phức $ {{z}_{1}}=1-i;{{z}_{2}}=1+i $ . Tìm phần ảo của số phức $ w={{z}_{1}}.{{z}_{2}} $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ w=\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)=12-{{i}^{2}}=1+1=2 $

Vậy phần ảo của số phức $ w $ là $ 0 $ .