Thế tích khối chóp

Bài sau

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Thế tích khối chóp

Thể tích của 1 khối chóp bắng một phần ba tích số của mặt đáy và chiều cao khối chóp đó

$V=\dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h.$

Ví dụ. Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$

Giải:

Xem tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ như hình chóp có đỉnh $A$ và đáy là tam giác đều $BCD$ . Diện tích mặt đáy là: ${{S}_{BCD}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$ .

Gọi $AH$ là chiều cao của hình chóp $A.BCD$ thì $H$ là tâm của tam giác đều $BCD$ . Suy ra chiều cao hình chóp là: $h=AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=a\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

Từ đó suy ra khối tứ diện $ABCD$ có thể tích là: $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{BCD}}.h=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SD$ vuông góc với đáy. Biết $SD=AB=a,$ $BC=b$ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}b$
B $V=\dfrac{1}{6}{{a}^{2}}b$
C $V=\dfrac{1}{6}a{{b}^{2}}$
D $V={{a}^{2}}b$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$V=\dfrac{1}{3}.SD.AB.BC=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}b$

Câu 2: Cho khối chóp $S.ABC$ . Khi tăng cạnh đáy của $\Delta ABC$ lên hai lần và giảm chiều cao ứng với đáy đi hai lần thì thể tích của khối chóp $S.ABC$

A
giảm đi hai lần.
B
tăng lên hai lần.
C
tăng lên 4 lần.
D
không đổi.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Khi tăng cạnh đáy của

$\Delta ABC$ lên hai lần và giảm chiều cao ứng với đáy đi hai lần thì diện tích

$\Delta ABC$ không đổi. Suy ra thể tích của khối chóp

$S.ABC$ không đổi.

Câu 3: Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích là $V$ , khẳng định nào sau đây là sai:

ANếu ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp $ABCDA'$ thì $V=4{{V}_{1}}$
BVới mọi điểm $M$ nằm trên mặt $\left( ABCD \right)$ thì thể tích của khối chóp $M.B'C'D'$ luôn không đổi.
CKhối chóp $A'ABC$ và $C'BCD$ có cùng thể tích
D $AA'$ vuông góc với $CD$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{day}}=\dfrac{1}{3}V$ nên “Nếu

${{V}_{1}}$ là thể tích khối

$ABCDA'$ thì

$V=4{{V}_{1}}$ ” sai.

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

ACác khối chóp có chiều cao và chu vi đáy bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
BMặt phẳng đối xứng của hình lập phương chia khối lập phương thành hai phần có thể tích bằng nhau.
CCác khối lăng trụ có chiều cao và diên tích đáy bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
DKhối chóp và khối lăng trụ có cùng chiều cao và diện tích đáy thì thể tích của khối lăng trụ gấp ba lần thể tích khối chóp.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Mệnh đề “Các khối chóp có chiều cao và chu vi đáy bằng nhau thì có thể tích bằng nhau” sai vì chu vi đáy bằng nhau chưa chắc diện tích đáy đã bằng nhau nên thể tích chưa chắc đã bằng nhau.

Câu 5: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ bất kì thuộc $\left( ABCD \right)$ . Tỉ số thể tích của lăng trụ và hình chóp $MA'B'C'D'$ là

A
Không xác định
B
$3$
C
$2$
D
$\dfrac{1}{2}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $h,\,S$ lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của hình lăng trụ.
Ta có ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=h.S$
Vì điểm $M$ bất kì thuộc $\left( ABCD \right)//\left( A'B'C'D' \right)$
$\Rightarrow {{V}_{MA'B'C'D'}}=\dfrac{1}{3}h.S\Rightarrow \dfrac{{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}}{{{V}_{MA'B'C'D'}}}=3$

Câu 6: Cho $\Delta ABC$ cố định và điểm $M\notin \left( ABC \right)$ thay đổi. Thể tích khối chóp $MABC$ thay đổi nếu:

AĐiểm $M$ di động trên một đường thẳng song song với $AB$
BĐiểm $M$ di động trên một mặt phẳng song song với $\left( ABC \right)$
CĐiểm $M$ di động trên một mặt phẳng song song với $AB$
DĐiểm $M$ di động trên một đường thẳng song song với $\left( ABC \right)$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì khi điểm

$M$ di động trên mặt phẳng song song với

$AB$ thì

$d\left( M;\left( ABC \right) \right)$ thay đổi nên

${{V}_{MABC}}$ thay đổi.

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABC{D}$ có độ dài cạnh đáy là $a$ , chiều cao hình chóp gấp 3 lần cạnh đáy. Thể tích hình chóp $S.ABC{D}$ là

A ${{a}^{3}}$
B $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
C $3{{{a}}^{3}}$
D $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

${{V}_{S.ABC{D}}}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.3{a}={{a}^{3}}$

Câu 8: Cho hình chóp $S.ABC{D}$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot \left( ABC{D} \right)$ , $\widehat{SBA}={{45}^{0}}$ . Thể tích hình chóp $S.ABC{D}$ là

A ${{a}^{3}}\sqrt{2}$
B $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C ${{a}^{3}}$
D $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\Delta SAB$ vuông tại

$A$ có

$\widehat{SBA}={{45}^{0}}$

$\Rightarrow SA=AB=a$

$\Rightarrow {{V}_{S.ABC{D}}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC{D}}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$ . Khi đó thể tích $S.ABC$ bằng

A
$\dfrac{V}{4}$ .
B
$\dfrac{V}{6}$ .
C
$\dfrac{V}{3}$ .
D
$\dfrac{V}{2}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}h{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}h\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{V}{2}$

( $h$ là độ dài đường cao của hình chóp).

Câu 10: Khi chiều cao của hình chóp tứ giác đều tăng lên hai lần và độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp

A
Giảm đi bốn lần
B
Giảm đi hai lần
C
Không đổi
D
Tăng lên hai lần

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $a$ là độ dài cạnh đáy, $h$ là chiều cao của hình chóp.
Khi đó ta có thể tích ban đầu là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}h$
Khi tăng chiều cao của hình chóp lên hai lần và giảm độ dài cạnh đáy đi hai lần thì được thể tích mới ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}.2h.{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{3}h.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{1}{2}{{V}_{1}}$ .
Vậy thể tích mới giảm đi 2 lần.

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Thế tích khối chóp

Lý thuyết về Thế tích khối chóp

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SDSD vuông góc với đáy. Biết SD=AB=a,SD=AB=a, BC=bBC=b. Thể tích khối chóp S.ABCDS.ABCD là:

Câu 2: Cho khối chóp S.ABCS.ABC. Khi tăng cạnh đáy của ΔABC\Delta ABC lên hai lần và giảm chiều cao ứng với đáy đi hai lần thì thể tích của khối chóp S.ABCS.ABC

Câu 3: Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có thể tích là VV, khẳng định nào sau đây là sai:

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 5: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' và điểm MM bất kì thuộc (ABCD)\left( ABCD \right) . Tỉ số thể tích của lăng trụ và hình chóp MA′B′C′D′MA'B'C'D' là

Câu 6: Cho ΔABC\Delta ABC cố định và điểm M∉(ABC)M\notin \left( ABC \right) thay đổi. Thể tích khối chóp MABCMABC thay đổi nếu:

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABC{D} có độ dài cạnh đáy là aa, chiều cao hình chóp gấp 3 lần cạnh đáy. Thể tích hình chóp S.ABCDS.ABC{D} là

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCDS.ABC{D} có đáy là hình vuông cạnh aa, SA⊥(ABCD)SA\bot \left( ABC{D} \right), ^SBA=450\widehat{SBA}={{45}^{0}}. Thể tích hình chóp S.ABCDS.ABC{D} là

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông. Gọi VV là thể tích khối chóp S.ABCDS.ABCD. Khi đó thể tích S.ABCS.ABC bằng

Câu 10: Khi chiều cao của hình chóp tứ giác đều tăng lên hai lần và độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SD$ vuông góc với đáy. Biết $SD=AB=a,$ $BC=b$ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

Câu 2: Cho khối chóp $S.ABC$ . Khi tăng cạnh đáy của $\Delta ABC$ lên hai lần và giảm chiều cao ứng với đáy đi hai lần thì thể tích của khối chóp $S.ABC$

Câu 3: Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích là $V$ , khẳng định nào sau đây là sai:

Câu 5: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ bất kì thuộc $\left( ABCD \right)$ . Tỉ số thể tích của lăng trụ và hình chóp $MA'B'C'D'$ là

Câu 6: Cho $\Delta ABC$ cố định và điểm $M\notin \left( ABC \right)$ thay đổi. Thể tích khối chóp $MABC$ thay đổi nếu:

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABC{D}$ có độ dài cạnh đáy là $a$ , chiều cao hình chóp gấp 3 lần cạnh đáy. Thể tích hình chóp $S.ABC{D}$ là

Câu 8: Cho hình chóp $S.ABC{D}$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot \left( ABC{D} \right)$ , $\widehat{SBA}={{45}^{0}}$ . Thể tích hình chóp $S.ABC{D}$ là

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$ . Khi đó thể tích $S.ABC$ bằng