Biểu diễn hình học của số phức

Biểu diễn hình học của số phức

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Biểu diễn hình học của số phức

Lý thuyết về Biểu diễn hình học của số phức

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$

  • Với mỗi $z = a + bi\,\,\, (a, b \in \mathbb{R})$ ta đặt tương ứng điểm $M(a;b)$ 
  • Với mỗi $M(a;b)$ là điểm biểu diễn một số phức $z = a + bi$.
  • $Ox$ được gọi là trục thực
  • $Oy$ được gọi là trục ảo

Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(a; b)$ biểu diễn $z = a + bi$.

 $M$ biểu diễn số phức $z$ cũng có nghĩa là vectơ $\overrightarrow{OM}$ biểu diễn số phức đó.

Nếu $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}'$ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z, z'$ thì:

  • $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}'$ biểu diễn số phức $z + z'$.
  • $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u}'$ biểu diễn số phức $z - z'$.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào không đúng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu tổng của 2 số phức là số thực thì cả 2 số ấy đều là số thực là sai chẳng hạn: 

\[\begin{array}{l}
{z_1} = 3 + i,{z_2} = 2 - i\\
{z_1} + {z_2} = 5
\end{array}\]

 

Câu 2: Điểm biểu diễn số phức $z=2-2i$ thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay tọa độ điểm $M\left( 2;-2 \right)$ biểu diễn số phức $z$ vào các đường thẳng thì thỏa mãn phương trình đường thẳng $y=-x$

Câu 3: Trong mặt phẳng phức, $\overrightarrow{OM}\left( 3;-5 \right)$ biểu diễn số phức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\overrightarrow{OM}\left( 3;-5 \right)$biểu diễn số phức $3-5i$

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương pháp:

+ Số phức $ z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{Z} \right) $ được biểu diễn bởi điểm $ M\left( a;b \right) $ trên mặt phẳng xOy.

+ Tọa độ trung điểm I của AB là: $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2} \\ & {{x}_{2}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \end{array} \right. $

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy: $ A\left( -2;1 \right),B\left( 1;3 \right)\Rightarrow M\left( -\dfrac{1}{2};2 \right)\Rightarrow z=-\dfrac{1}{2}+2i $

Câu 5: Trong hình vẽ bên, điểm $ M $ biểu diễn số phức $ z. $ Số phức $ \bar{z} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

\[z = 2 + i \Rightarrow \overline z  = 2 - i\]

Câu 6: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biễu diễn của số phức $ z=\left( 1+i \right)\left( 2-i \right)? $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ z=2-i+2i-{{i}^{2}}=3+i\Rightarrow $ số phức z biểu diễn $ Q\left( 3;1 \right) $.

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, hai điểm biểu diễn hai số phức z và \(-z\) :

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ vậy tọa độ điểm biểu diễn của z là $\left( a;b \right)$
Có $-z=-a-bi$ vậy tọa độ điểm biểu diễn của $-z$ là $\left( -a;-b \right)$
Do $\left( a;b \right)$và $\left( -a;-b \right)$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, nên hai điểm biểu diễn hai số phức z và $-z$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Câu 8: Điểm $ M $ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điểm $ M\left( -2;\,1 \right) $ là điểm biểu diễn số phức $ z=-2+i $ .

Câu 9: Cho số phức $z=1+2i$. Khi đó điểm biểu diễn số phức nằm trên đường thẳng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Với $z=1+2i\Rightarrow $điểm biểu diễn số phức z là điểm $M\left( 1;2 \right)$ thuộc đường $y=x+1$.

Câu 10: Biết điểm $M\left( -1;2 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ . Vậy $z$ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right)$ nên chọn đáp án $z=-1+2i$

Câu 11: Số phức z nào sau đây có môđul bằng môđul của số phức có điểm biểu diễn là $M\left( 1;-3 \right)$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có số phức có điểm biểu diễn $M\left( 1;-3 \right)$ là $z'=1-3i\Rightarrow \left| z' \right|=\sqrt{10}$
Thấy trong các phương án thì chỉ có $\left| \sqrt{6}+2i \right|=\sqrt{6+4}=\sqrt{10}$
Vậy $z=\sqrt{6}-2i$.

Câu 12: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $ z=-1+2i $ là điểm nào dưới đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điểm biểu diễn số phức $ z=-1+2i $ là điểm $ P\left( -1\,;\,2 \right) $ .

Câu 13: Biết $A,B$ là điểm biểu diễn số phức $z=-i,z=3i$. Độ dài $AB$ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $A\left( 0;-1 \right),B\left( 0;3 \right)\Rightarrow AB=4$

Câu 14: Điểm $ M\left( 1;-3 \right) $ trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điểm $ M\left( 1;-3 \right) $ trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức $ 1-3i $ .

Câu 15: Cho số phức $z=2+3i$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số phức $\overline{z}=2-3i\Rightarrow $Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ là $\left( 2;-3 \right)$.

Câu 16: Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức $ z=-1+2i? $  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ z=-1+2i $ nên điểm biểu diễn số phức $ z $ có tọa độ $ \left( -1;2 \right) $ , đối chiếu hình vẽ ta thấy đó là điểm $ Q $ .

 

Câu 17: Cho số phức \(z=1-4i\). Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số phức đối của z là $-1+4i\Rightarrow \left( -1;4 \right)$ là điểm biểu diễn cần tìm

Câu 18: Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điểm M có tọa độ là $\left( -2;1 \right)$ do đó M biểu diễn số phức ${{z}_{3}}=-2+i$

Câu 19: Cho số phức ${{z}_{1}}=1-2i,\text{ }{{z}_{2}}=-3+i$. Tìm điểm biểu diễn của số phức $z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2-i$

Câu 20: Trong mặt phẳng phức \(Oxy\), cho số phức $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ . Khẳng định sai là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

“Điểm biểu diễn số phức $-a+bi$ đối xứng với điểm biểu diễn $z$ qua trục hoành” là khẳng định sai vì hai điểm này đối xứng nhau qua trục tung.

Câu 21: Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn thuộc đường tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay tọa độ các điểm biểu diễn các số phức trong các phương án, điểm nào thỏa mãn phương trình đường tròn thì chọn
Ta thấy điểm $\left( \sqrt{2};-\sqrt{2} \right)$ thuộc đường tròn nên chọn số phức $z=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

Câu 22: Biết điểm $M$ biểu diễn số phức $z=1+i$. Độ dài $\overrightarrow{OM}$ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\left| \overrightarrow{OM} \right|=\left| z \right|=\sqrt{2}$

Câu 23: Nếu $\overrightarrow{OM}=\left( 1;-2 \right)$ thì điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\overrightarrow{OM}=\left( 1;-2 \right)\Rightarrow M\left( 1;-2 \right)$ hay điểm $M$ biểu diễn số phức $z=1-2i$

Câu 24: Điểm $ M $ trong hình vẽ là điểm biểu thị cho số phức

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có điểm $ M\left( -2;3 \right) $ $ \Rightarrow $ Điểm $ M $ biểu diễn số phức $ -2+3i $

Câu 25: Cho các điểm $M,\,N,\,P$ lần lượt biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}=-2i,\,{{z}_{2}}=-i,\,{{z}_{3}}=5i$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thấy 3 số phức z không có phần thực nên 3 điểm $M, N, P$ thuộc Oy nên khẳng định “Các điểm $M,\,N,\,P$ thẳng hàng” đúng.