Bất phương trình mũ cơ bản
Lý thuyết về Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng: ${{a}^{x}}>b$ (hoặc ${{a}^{x}}<b$, ${{a}^{x}}\ge b$, ${{a}^{x}}\le b$) với $a>0$, $a\ne 1$.
$.$ Trường hợp $b\le 0$: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
$.$ Trường hợp $b>0$:
Nếu $a>1$: ${{a}^{x}}>b\Leftrightarrow x>{{\log }_{a}}b$
Nếu $0<a<1$: ${{a}^{x}}>b\Leftrightarrow x<{{\log }_{a}}b$
Tương tự với các trường hợp ${{a}^{x}}<b$, ${{a}^{x}}\ge b$, ${{a}^{x}}\le b$.
Ví dụ : ${{3}^{x}}\ge 5\Leftrightarrow x\ge {{\log }_{3}}5$
${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\ge 3\Leftrightarrow x\le {{\log }_{\frac{1}{2}}}3\Leftrightarrow x\le -{{\log }_{2}}3$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình $ { 2 ^{2x}} < { 2 ^{x+6}} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ { 2 ^{2x}} < { 2 ^{x+6}}\Leftrightarrow { 2 ^{2x}} < {{64.2}^ x }\Leftrightarrow { 2 ^ x }\left( { 2 ^ x }-64 \right) < 0\Leftrightarrow { 2 ^ x } < 64={ 2 ^ 6 }\Leftrightarrow x < 6\Rightarrow S=\left( -\infty ;6 \right) $ .
Câu 2: Nghiệm nào sau đây thuộc tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{x}}>{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2-x}}$
- A
- B
- C
- D
Cách 1. ${{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{x}}>{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2-x}}\Leftrightarrow x<2-x\Leftrightarrow x<1$
Vậy chọn đáp án $-1$
Cách 2. Thử đáp án nhập hàm \({{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{x}}-{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2-x}}\xrightarrow{CALC}\) nhập từng giá trị của $X$ giá trị nào cho kết quả lớn hơn hoặc bằng $0$ thì chọn.
Vậy chọn đáp án $-1$
Câu 3: Bất phương trình ${{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}>1$ có nghiệm là
- A
- B
- C
- D
${{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}>1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}>{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{0}}\Leftrightarrow x<0$
Câu 4: Trong các giá trị sau, giá trị nào là một nghiệm của bất phương trình ${{3}^{x}}>\sqrt{3}$ ?
- A
- B
- C
- D
Cách 1. Thay từng giá trị vào bất phương trình ta được đáp án đúng là $1$
Cách 2. Ta có ${{3}^{x}}>\sqrt{3}\Leftrightarrow {{3}^{x}}>{{3}^{\dfrac{1}{2}}}\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$. Vậy chọn đáp án $1$
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình ${{3}^{x-2}}>0$ là
- A
- B
- C
- D
Vì ${{3}^{x-2}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên chọn đáp án $\mathbb{R}$.
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\sqrt{x-2}}}>0$
- A
- B
- C
- D
Điều kiện $x\ge 2$
Vì ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{x-2}}>0;\forall x\in \left[ 2;+\infty \right)$ nên chọn đáp án $\left[ 2;+\infty \right)$
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình $ {{2}^{\sqrt{x}}} < 2 $ là
- A
- B
- C
- D
${2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow \sqrt x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1$
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình $ {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{\sqrt{x+2}}} > {{3}^{-x}} $ là
- A
- B
- C
- D
BPT $ \Leftrightarrow {{3}^{-\sqrt{x+2}}} > {{3}^{-x}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ge -2 \\ & -\sqrt{x+2} > -x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ge -2 \\ & x > \sqrt{x+2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-x-2 > 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x > 2. $