PHƯƠNG PHÁP: Các dạng toán về lãi suất ngân hàng:
1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi đơn $r%$ /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn ( $n\in \mathbb{N}*$ ) là:
\[{{S}_{n}}=A+nAr=A\left( 1+nr \right)\] (1)
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ $r%$ là $\frac{r}{100}$ .
2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi kép $r%$ /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn ( $n\in \mathbb{N}*$ ) là:
\[{{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}\] (2)
Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được:
\[n={{\log }_{\left( 1+r \right)}}\left( \frac{{{S}_{n}}}{A} \right)\]
\[r%=\sqrt[n]{\frac{{{S}_{n}}}{A}}-1\]
\[A=\frac{{{S}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}\]
3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng với lãi kép $r%$/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ tháng ( $n\in \mathbb{N}*$ ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là \[{{S}_{n}}\].
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
${{S}_{1}}=A\left( 1+r \right)=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{1}}-1 \right]\left( 1+r \right)$
Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền $A$ đồng thì số tiền là
${{T}_{1}}=A\left( 1+r \right)+A=A\left[ \left( 1+r \right)+1 \right]=A\frac{\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]}{\left( 1+r \right)-1}=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]$
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
${{S}_{2}}=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]\left( 1+r \right)$
Từ đó ta có công thức tổng quát
\[{{S}_{n}}=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]\left( 1+r \right)\] (3)
Chú ý: Từ công thức (1.6) ta có thể tính được:
\[n={{\log }_{\left( 1+r \right)}}\left( \frac{{{S}_{n}}.r}{A\left( 1+r \right)}+1 \right)\]
\[A=\frac{{{S}_{n}}.r}{\left( 1+r \right)\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}\]
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:
Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là $X$ đồng. Tính số tiền còn lại sau $n$ tháng là bao nhiêu?
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là ${{T}_{1}}=A\left( 1+r \right)$ và sau khi rút số tiền còn lại là
${{S}_{1}}=A\left( 1+r \right)-X=A\left( 1+r \right)-X\frac{\left( 1+r \right)-1}{r}$
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
\[{{T}_{2}}=\left[ A\left( 1+r \right)-X \right]\left( 1+r \right)=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\left( 1+r \right)\]
và sau khi rút số tiền còn lại là
\[{{S}_{2}}=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\left( 1+r \right)-X=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\left[ \left( 1+r \right)+1 \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{2}}-1}{r}\]
Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau $n$ tháng là
\[{{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}\] (4)
Chú ý: Từ công thức (4) ta có thể tính được:
\[X=\left[ A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-{{S}_{n}} \right]\frac{r}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}\]
5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là $X$ đồng và trả hết tiền nợ sau đúng $n$ tháng.
Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau $n$ tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
\[{{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}\] (5)
Để sau đúng $n$ tháng trả hết nợ thì ${{S}_{n}}=0$ nên
\[A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0\] và \[X=\frac{A{{\left( 1+r \right)}^{n}}.r}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}\].
Độ phóng xạ ban đầu là $ a\text{ }(Bq) $ có trong khúc gỗ, $ T $ (năm) là chu kì bán rã của C14.
Độ phóng xạ sau $ T $ là $ \dfrac{a}{2} $ , lượng phóng xạ sau $ 2T $ là $ \dfrac{a}{{{2}^{2}}} $ , độ phóng xạ sau $ 3T $ là $ \dfrac{a}{{{2}^{3}}} $ , …
Độ phóng xạ sau $ nT $ là $ \dfrac{a}{{{2}^{n}}} $ .
Vì tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt nên $ \dfrac{a}{{{2}^{n}}}=0,77a\Rightarrow {{2}^{n}}=\dfrac{1}{0,77}\Leftrightarrow n={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right) $
Vậy tuổi tượng gỗ là $ nT={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right).5600=2111,59\approx 2112 $ (năm).
Ta tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức $C - A > 40$ .
$ \Leftrightarrow 100{\left( {1 + r} \right)^n} - 100 > 40$ $ \Leftrightarrow {\left( {1 + 12\% } \right)^n} > \dfrac{{140}}{{100}}$ $ \Leftrightarrow n > {\log _{1,12}}\dfrac{{140}}{{100}} \approx 2,82$
Vậy số năm nhỏ nhất ông Hùng cần gửi số tiền $ 100 $ triệu vào ngân hàng để nhận lãi lớn hơn $ 40 $ triệu là $ 3 $ năm.
Sau 1 tháng người đó có số tiền: $ {{T}_{1}}=\left( 1+r \right)T $
Sau 2 tháng người đó có số tiền: $ {{T}_{2}}=\left( T+{{T}_{1}} \right)\left( 1+r \right)=\left( 1+r \right)T+{{\left( 1+r \right)}^{2}}T $
Theo quy luật đó sau 15 tháng người đó có số tiền là $ {{T}_{15}}=\left( 1+r \right)T\left[ 1+\left( 1+r \right)+...+{{\left( 1+r \right)}^{14}} \right]=T\left( 1+r \right)\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{15}}-1}{r} $
Theo giả thiết thì $ {{T}_{10}}=10 $ và $ r=0.006 $ suy ra $ T\approx 635.000 $ .
Gọi $ {{T}_{n}} $ là số tiền cả vốn lẫn lãi sau $ n $ năm, $ a $ là số tiền ban đầu, $ r $ là lãi suất hàng năm.
Ta có: $ a=100 $ , $ r=12\%=0,12 $ .
Sau năm thứ nhất: $ {{T}_{1}}=a\left( 1+r \right) $ .
Sau năm thứ 2: $ {{T}_{2}}=a{{\left( 1+r \right)}^{2}} $ .
……………….
Sau năm thứ $ n $ : $ {{T}_{n}}=a{{\left( 1+r \right)}^{n}} $ .
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn $ 40 $ triệu đồng thì $ {{T}_{n}} > a+40\Rightarrow {{T}_{n}} > 140 $ .
$ \Leftrightarrow a{{\left( 1+r \right)}^{n}} > 140 \Rightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}} > \dfrac{140}{a}\Rightarrow n\ln \left( 1+r \right) > \ln \left( \dfrac{140}{a} \right) $ .
$ \Rightarrow n > \dfrac{\ln \dfrac{140}{a}}{\ln \left( 1+r \right)}=\dfrac{\ln \dfrac{140}{100}}{\ln \left( 1+0,12 \right)}\approx 2,96899444 $ .
Vây để số tiền lãi nhận được lớn hơn $ 40 $ triệu thì $ n > 2,96889444 $ .
Vậy số $ n $ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là $ n=3 $ .
Ta có: $ T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}} $
Trong đó: $ A=200 $ triệu đồng, $ T=225 $ triệu đồng, $ r=0,58\%=0,0058 $ .
$ \Rightarrow 225=200{{\left( 1+0.0058 \right)}^{n}}\Rightarrow n\approx 21 $ tháng.
Gọi $ x $ (triệu đồng) là số tiền ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng.
Đặt $ q=1+r=1,01 $ .
Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 1 là: $ {{A}_{1}}=100\left( 1+r \right)-x=100q-x $ .
Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 2 là: $ {{A}_{2}}={{A}_{1}}q-x=100{{q}^{2}}-xq-x $ .
Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần cuối cùng – lần thứ 60 là: $ {{A}_{60}}=100{{q}^{60}}-x\left( {{q}^{59}}+{{q}^{58}}+...+1 \right)=100{{q}^{60}}-x.\left( \dfrac{{{q}^{60}}-1}{q-1} \right) $ .
Do sau $ 5 $ năm trả hết nợ nên $ {{A}_{60}}=0 $ suy ra $ x=\dfrac{100{{q}^{60}}.\left( q-1 \right)}{{{q}^{60}}-1}=\dfrac{100.{{\left( 1,01 \right)}^{60}}.0,01}{{{\left( 1,01 \right)}^{60}}-1}\approx 2,22 $ .
Vậy số tiền mỗi tháng ông A cần trả là khoảng $ 2,22 $ triệu đồng.
Số tiền cả gốc lẫn lãi mà Bác nhận được sau 5 năm 8 tháng là:
$ T=20{{\left( 1+8,5\%:2 \right)}^{11}}\left( 1+0,01\%.60 \right)\approx 31,80275009 $ triệu đồng.
Áp dụng công thức lãi kép $ {{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}, $ trong đó:
$ {{T}_{n}} $ là tổng số tiền vốn và lãi sau $ n $ kì,
$ A $ là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng,
$ r $ là lãi suất mỗi kì.
Khi đó số tiền lãi thu được sau $ n $ kì là $ {{T}_{n}}-A=A\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right] $ (*).
Áp dụng công thức (*) với $ n=3,\,\,r=6,5\% $ và $ {{T}_{n}}-A=30 $ (triệu đồng) ta được
Áp dụng công thức lãi kép: $ A=a{{\left( 1+r \right)}^{n}} $
Trong đó: $ A $ là số tiền nhận được sau $ n $ kỳ hạn, $ a $ là số tiền gửi ban đầu, $ r $ là lãi suất mỗi kì hạn.
Số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được sau $ 5 $ năm là:
Một người gửi số tiền 1 tỷ đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm thì số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Nếu không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi thì sau 5 năm người đó nhận được số tiền là (đơn vị đồng, kết quả làm tròn đến hàng trăm)
Gọi $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất
Áp dụng công thức lãi kép, số tiền người đó thu được sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$
Áp dụng với $A=1.000.000.000$(đồng) và $r=0,06$ và $n=5$ ta có
${{A}_{5}}=1.000.000.000{{\left( 1,06 \right)}^{5}}=1.338.225.578$ (đồng)
Làm tròn ta được $1 338 225 600$ (đồng)
Gọi $ A $ là số tiền vay, $ a $ là số tiền gửi hàng tháng $ r $ là lãi suất mỗi tháng.
Đến cuối tháng thứ $ n $ thì số tiền còn nợ là:
$ T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r} $
Hết nợ đồng nghĩa $ T=0\Leftrightarrow A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r}=0 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a-Ar}{r}{{\left( 1+r \right)}^{n}}=\dfrac{a}{r}\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\dfrac{a}{a-Ar} $
Áp dụng với $ A=1 $ (tỷ), $ a=0,04 $ (tỷ), $ r=0,0065 $ ta được $ n\approx 27,37 $ .
Vậy cần trả $ 28 $ tháng.
Gọi $ {{A}_{0}} $ là số tiền ban đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và $ r $ là lãi suất ngân hàng tính theo tháng.
Số tiền mà người đó có được sau $ n $ tháng là $ {{A}_{n}}={{A}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}} $ .
Áp dụng vào bài toán ta có : $ {{A}_{n}}=50.000.000 $ ; $ n=23 $ ; $ r=0,55\% $ .
Vậy vào ngày $ 22/3/2018 $ người đó phải gửi số tiền là $ {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}=\dfrac{50000000}{{{\left( 1+0,55\% \right)}^{23}}}\approx 44.074.000 $ .
Theo phương thức lãi kép ta có số tiền ông A thực lĩnh sau $ 10 $ năm là:
Loại kỳ hạn $ 12 $ tháng với lãi suất là $ 12\%/ $ năm: $ {{P}_{10}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{10}}=100.000.000{{\left( 1+12\% \right)}^{10}}\approx 310.584.820 $ đồng
Loại kỳ hạn $ 1 $ tháng với lãi suất là $ 1\%/ $ tháng: $ {{P}_{120}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{120}}=100.000.000{{\left( 1+1\% \right)}^{120}}\approx 330.038.690 $ đồng
Số tiền gửi theo kỳ hạn $ 1 $ tháng có kết quả nhiều hơn kỳ hạn $ 1 $ năm là $ {{P}_{120}}-{{P}_{10}}\approx 19.454.000 $ đồng sau $ 10 $ năm.
Đây là bài toán lãi kép với lãi suất $6,7\%$ một năm, $P$ là số tiền ban đầu họ phải gửi vào ngân hàng.
Ta có:
$P{\left( {1 + 6,7\% } \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P{\left( {1,067} \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$
Vậy số tiền họ phải gửi vào ngân hàng ban đầu là $P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$ (đồng).
+ Số tiền bạn H đã vay sau bốn năm học đại học là: Lần 1: 4 triệu vay trong 4 năm;Lần 2: 4 triệu vay trong 3 năm;Lần 3: 4 triệu vay trong 2 năm;Lần 4: 4 triệu vay trong 1 năm.
Vậy sau bốn năm thì cả gốc lẫn lãi bạn H sẽ nợ là:
$ 4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{4}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{3}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{2}}+4000000.\left( 1+3\% \right)=17236543 $ (đồng).
+ Sau khi học hết đại học, bạn H bắt đầu trả theo lãi suất mới, trong vòng 60 tháng.
Đặt $ A=17326543;r=0,25\%;n=60 $ . Gọi số tiền trả nợ hàng tháng là $ x $ (đồng).
Cuối tháng 1: nợ số tiền là $ A.\left( 1+r \right) $ ;
trả $ x $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ A.\left( 1+r \right)-x $ .Cuối tháng 2: nợ số tiền là $ \left( A.\left( 1+r \right)-x \right).\left( 1+r \right)=A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right) $ trả $ x $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right)-x $ .……
Cuối tháng n: Nợ số tiền là
$ A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-x{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-...-x $
$ =A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right] $
$ =A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} $ .
Bạn H trả hết nợ sau 5 năm nghĩa là $ A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0 $ $ \Leftrightarrow x=\dfrac{A.r.{{\left( 1+r \right)}^{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1} $
Thay số: $ x=309718 $ (đồng) – làm tròn đến hàng đơn vị.
Sau 4 năm số tiền $ A $ nợ ngân hàng là $ S=5.000.000\times 1,{{05}^{4}}=6.077.531,25 $ đồng.
Đặt $ {{a}_{n}} $ là số tiền còn nợ sau tháng thứ $ n $ trả nợ, ta có:
$ {{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003 $ là số tiền còn nợ sau khi trả tháng đầu tiên và $ {{a}_{n}}=\left( {{a}_{n-1}}-T \right)\times 1,003 $
Ta chứng minh $ {{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right)\left( 1 \right) $
Với $ n=1 $ ta có $ {{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003 $ đúng theo cách đặt
Giả sử $ \left( 1 \right) $ đúng với $ n=k\left( k\ge 1 \right) $ ta có: $ {{a}_{k}}=S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right) $
Ta có:
$ \begin{array}{l}
& {{a}_{k+1}}=\left( {{a}_{k}}-T \right)\times 1,003=\left( S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right)-T \right)\times 1,003 \\
& =S\times 1,{{003}^{k+1}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k+1}} \right) \\
\end{array} $
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta có $ {{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right) $
Ta có $ 5 $ năm có $ 60 $ tháng
Ta có sau $ 5 $ năm thì $ A $ trả hết nợ
$ \Rightarrow {{a}_{59}}=T $ $ \Leftrightarrow 6.077.531,25\times 1,{{003}^{59}}-T\left( 1+1,003+...+1,{{003}^{59}} \right)=0 $
$ \Leftrightarrow T=110.501,7741 $ đồng.
Số tiền nhận được của bác Hải sau $ 5 $ năm đầu gửi ngân hàng là : $ {{T}_{1}}={{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}} $ .
$ \Rightarrow $ Số tiền lãi thu được sau $ 5 $ năm là: $ {{L}_{1}}={{T}_{1}}-{{100.10}^{6}} $ $ ={{100.10}^{6}}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
Số tiền thu được sau khi gửi vào ngân hàng $ 5 $ năm tiếp theo là: $ {{T}_{2}}=\left( \dfrac{{{T}_{1}}}{2} \right){{\left( 1+r \right)}^{5}} $ .
$ \Rightarrow $ Số tiền lãi thu được sau khi gửi lần $ 2 $ là: $ {{L}_{2}}={{T}_{2}}-\dfrac{{{T}_{1}}}{2}=\dfrac{{{T}_{1}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
$ =\dfrac{{{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
Vậy tổng số tiền lãi của bác Hải sau $ 10 $ năm gửi ngân hàng là: $ {{L}_{1}}+{{L}_{2}}\approx 81,413 $ triệu
Theo giả thiết công thức tính độ sáng là $A={{A}_{0}}.{{t}^{12}}$ với ${{A}_{o}}$ là hằng số và $t$ là nhiệt độ tuyệt đối
Độ sáng của bóng đèn hơi là ${{A}_{1}}={{A}_{0}}{{.2500}^{12}}$
Độ sáng của bóng đèn chân không là ${{A}_{2}}={{A}_{0}}{{.2000}^{12}}$
Vậy $\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \dfrac{2500}{2200} \right)}^{12}}=4.64$ (lần)
Tiêm vào người 1 bệnh nhân lượng nhỏ dung dịch chứa phóng xạ \[{}_{11}^{24}Na\] có độ phóng xạ \[{4.10^3}Bp\]. Sau 5 tiếng người ta lấy 1$c{{m}^{3}}$ máu người đó thì thấy độ phóng xạ lúc này là \[H = 0,53Bp/c{m^3}\] , biết chu kì bán rã (là khoảng thời gian mà sau 1 chu kì thì lượng phóng xạ giảm đi 1 nửa) của Na24 là 15 (giờ). Thể tích máu người bệnh là
Giả sử thể tích máu của người bệnh là $x$ (lít). $T=15(h)$ là chu kì bán rã của chất phóng xạ.
Độ phóng xạ ban đầu là $a\text{ }(Bq)$
Độ phóng xạ sau $T\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{2}$, lượng phóng xạ sau $2T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{2}}}$, độ phóng xạ sau $3T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{3}}}$, …
Độ phóng xạ sau $nT\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{{{2}^{n}}}$
Vậy sau 5(h), độ phóng xạ còn lại trong toàn bộ cơ thể ($x$ lít) là $\dfrac{a}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}=\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}\text{ }\left( Bq \right)$
Khi đó độ chất phóng xạ có trong 1 $c{{m}^{3}}$ là $\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}:\left( x{{.10}^{3}} \right)=0,53\Rightarrow x=5,99\text{ }$
Vậy thể tích máu người bệnh là 6 lít.
Đây là bài toán vay vốn trả góp.
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau $ n $ tháng vay $ \left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) $ là:
$ {{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} $ .
Trong đó số tiền vay là $ A=500 $ triệu đồng, lãi suất $ r=0,8\%/th\acute{a}ng $ , số tiền trả hàng tháng là $ X=10 $ triệu đồng. Ta có $ {{S}_{n}}=500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%} $ .
Để sau đúng $ n $ tháng hết nợ, thì $ {{S}_{n}}=0 $ $ \Leftrightarrow 500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%}=0 $
$ \begin{array}{l}
& \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}\left( 500-\dfrac{10}{0,8\%} \right)=-\dfrac{10}{0,8\%} \\
& \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}=\dfrac{5}{3} \\
& \Leftrightarrow n={{\log }_{1,008}}\dfrac{5}{3}\simeq 64,11 \\
\end{array} $
Vậy sau $ 65 $ tháng, anh $ A $ trả hết nợ ngân hàng.
Áp dụng công thức
$ T=A{{\left( 1+r \right)}^{x}}-m\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{x}}-1}{r}\,\,\, $
Trong đó:
Ø $ A $ là tổng số tiền gửi ban đầu.
Ø $ T $ là số tiền còn lại trong ngân hàng ở thời điểm cuối tháng (năm) thứ $ x. $
Ø $ r $ là lãi suất tính theo tháng (năm)
Ø $ m $ là số tiền rút ra hàng tháng (năm)
Ø $ x $ là thời điểm muốn biết trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền.
Cuối tháng thứ 138, trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền:
$ T=100{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1.\dfrac{{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1}{0,5\%}\approx 970926 $ đồng
Nhưng vì cuối tháng 139 người này mới rút tiền nên số tiền này sẽ sinh lãi. Đến cuối tháng 139, số tiền người đó rút được là:
$ T=970926(1+0,5\%)\approx 975781 $ đồng