Các bài toán lãi suất

Các bài toán lãi suất

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Các bài toán lãi suất

Lý thuyết về Các bài toán lãi suất

PHƯƠNG PHÁP:  Các dạng toán về lãi suất ngân hàng:

1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi đơn $r%$ /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn ( $n\in \mathbb{N}*$ ) là: 

\[{{S}_{n}}=A+nAr=A\left( 1+nr \right)\] (1)

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ $r%$ là $\frac{r}{100}$ .

2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi kép $r%$ /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn ( $n\in \mathbb{N}*$ ) là: 

\[{{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}\] (2)

Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được:

\[n={{\log }_{\left( 1+r \right)}}\left( \frac{{{S}_{n}}}{A} \right)\]

\[r%=\sqrt[n]{\frac{{{S}_{n}}}{A}}-1\]

\[A=\frac{{{S}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}\]

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.

Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền $A$  đồng với lãi kép $r%$/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ tháng ( $n\in \mathbb{N}*$ ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là \[{{S}_{n}}\].

Ý tưởng hình thành công thức:

Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 

${{S}_{1}}=A\left( 1+r \right)=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{1}}-1 \right]\left( 1+r \right)$

Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền $A$ đồng thì số tiền là 

${{T}_{1}}=A\left( 1+r \right)+A=A\left[ \left( 1+r \right)+1 \right]=A\frac{\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]}{\left( 1+r \right)-1}=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]$

Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 

${{S}_{2}}=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{2}}-1 \right]\left( 1+r \right)$

Từ đó ta có công thức tổng quát 

\[{{S}_{n}}=\frac{A}{r}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]\left( 1+r \right)\] (3)

Chú ý: Từ công thức (1.6) ta có thể tính được: 

\[n={{\log }_{\left( 1+r \right)}}\left( \frac{{{S}_{n}}.r}{A\left( 1+r \right)}+1 \right)\]

\[A=\frac{{{S}_{n}}.r}{\left( 1+r \right)\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}\] 

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng: 

Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là $X$ đồng. Tính số tiền còn lại sau $n$ tháng là bao nhiêu? 

Ý tưởng hình thành công thức:

Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là ${{T}_{1}}=A\left( 1+r \right)$ và sau khi rút số tiền còn lại là 

${{S}_{1}}=A\left( 1+r \right)-X=A\left( 1+r \right)-X\frac{\left( 1+r \right)-1}{r}$

Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 

\[{{T}_{2}}=\left[ A\left( 1+r \right)-X \right]\left( 1+r \right)=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\left( 1+r \right)\]

và sau khi rút số tiền còn lại là 

\[{{S}_{2}}=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\left( 1+r \right)-X=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\left[ \left( 1+r \right)+1 \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{2}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{2}}-1}{r}\]

Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau $n$ tháng là 

\[{{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}\] (4)

Chú ý: Từ công thức (4) ta có thể tính được:

\[X=\left[ A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-{{S}_{n}} \right]\frac{r}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}\] 

5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là $X$ đồng và trả hết tiền nợ sau đúng $n$ tháng.

 Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau $n$ tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

            \[{{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}\] (5)

Để sau đúng $n$ tháng trả hết nợ thì ${{S}_{n}}=0$ nên

\[A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0\]  và             \[X=\frac{A{{\left( 1+r \right)}^{n}}.r}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}\].

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Một tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt, biết chu kì bán rã (là khoảng thời gian mà sau 1 chu kì thì độ phóng xạ giảm đi 1 nửa) của C14 là 5600 năm. Số tuổi tượng gỗ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Độ phóng xạ ban đầu là $ a\text{ }(Bq) $ có trong khúc gỗ, $ T $ (năm) là chu kì bán rã của C14.

Độ phóng xạ sau $ T $$ \dfrac{a}{2} $ , lượng phóng xạ sau $ 2T $$ \dfrac{a}{{{2}^{2}}} $ , độ phóng xạ sau $ 3T $$ \dfrac{a}{{{2}^{3}}} $ , …

Độ phóng xạ sau $ nT $$ \dfrac{a}{{{2}^{n}}} $ .

Vì tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt nên $ \dfrac{a}{{{2}^{n}}}=0,77a\Rightarrow {{2}^{n}}=\dfrac{1}{0,77}\Leftrightarrow n={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right) $

Vậy tuổi tượng gỗ là $ nT={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right).5600=2111,59\approx 2112 $ (năm).

Câu 2: Ông Hùng gửi $ 100 $ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm, với công thức $ C=A{{\left(1+r \right)}^{n}} $, lãi suất $ r=12\\% $ một năm. Trong đó $ C $ là số tiền nhận được sau thời gian $ n $ năm, $ A $ là số tiền gửi ban đầu. Tìm $ n $ nguyên dương nhỏ nhất để sau $ n $ năm ông Hùng nhận được số tiền lãi hơn $ 40 $ triệu đồng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức $C - A > 40$ .

$ \Leftrightarrow 100{\left( {1 + r} \right)^n} - 100 > 40$ $ \Leftrightarrow {\left( {1 + 12\% } \right)^n} > \dfrac{{140}}{{100}}$ $ \Leftrightarrow n > {\log _{1,12}}\dfrac{{140}}{{100}} \approx 2,82$
Vậy số năm nhỏ nhất ông Hùng cần gửi số tiền $ 100 $ triệu vào ngân hàng để nhận lãi lớn hơn $ 40 $ triệu là $ 3 $ năm.

Câu 3: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một khoảng tiền $ T $ theo hình thức lãi kép với lãi suất $ 0,6\% $ mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền $ T $ người đó gửi hàng tháng là bao nhiêu?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Sau 1 tháng người đó có số tiền: $ {{T}_{1}}=\left( 1+r \right)T $
Sau 2 tháng người đó có số tiền: $ {{T}_{2}}=\left( T+{{T}_{1}} \right)\left( 1+r \right)=\left( 1+r \right)T+{{\left( 1+r \right)}^{2}}T $
Theo quy luật đó sau 15 tháng người đó có số tiền là $ {{T}_{15}}=\left( 1+r \right)T\left[ 1+\left( 1+r \right)+...+{{\left( 1+r \right)}^{14}} \right]=T\left( 1+r \right)\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{15}}-1}{r} $
Theo giả thiết thì $ {{T}_{10}}=10 $ và $ r=0.006 $ suy ra $ T\approx 635.000 $ .

Câu 4: Ông Tuấn gửi $ 100 $ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là $ 12\% $ một năm. Sau $ n $ năm ông Tuấn rút toàn bộ số tiền. Tìm $ n $ nguyên dương nhỏ nhất để ông Tuấn nhận được số tiền lãi nhiều hơn $ 40 $ triệu đồng..

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ {{T}_{n}} $ là số tiền cả vốn lẫn lãi sau $ n $ năm, $ a $ là số tiền ban đầu, $ r $ là lãi suất hàng năm.
Ta có: $ a=100 $ , $ r=12\%=0,12 $ .
Sau năm thứ nhất: $ {{T}_{1}}=a\left( 1+r \right) $ .
Sau năm thứ 2: $ {{T}_{2}}=a{{\left( 1+r \right)}^{2}} $ .
……………….
Sau năm thứ $ n $ : $ {{T}_{n}}=a{{\left( 1+r \right)}^{n}} $ .
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn $ 40 $ triệu đồng thì $ {{T}_{n}} > a+40\Rightarrow {{T}_{n}} > 140 $ .
$ \Leftrightarrow a{{\left( 1+r \right)}^{n}} > 140 \Rightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}} > \dfrac{140}{a}\Rightarrow n\ln \left( 1+r \right) > \ln \left( \dfrac{140}{a} \right) $ .
$ \Rightarrow n > \dfrac{\ln \dfrac{140}{a}}{\ln \left( 1+r \right)}=\dfrac{\ln \dfrac{140}{100}}{\ln \left( 1+0,12 \right)}\approx 2,96899444 $ .
Vây để số tiền lãi nhận được lớn hơn $ 40 $ triệu thì $ n > 2,96889444 $ .
Vậy số $ n $ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là $ n=3 $ .

Câu 5: Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 1 tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất $ 0,58\% $ một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trước đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}} $
Trong đó: $ A=200 $ triệu đồng, $ T=225 $ triệu đồng, $ r=0,58\%=0,0058 $ .
$ \Rightarrow 225=200{{\left( 1+0.0058 \right)}^{n}}\Rightarrow n\approx 21 $ tháng.

Câu 6: Ông A vay ngân hàng $100$ triệu đồng với lãi suất $1%$/ tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng $5$ năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ x $ (triệu đồng) là số tiền ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng.

Đặt $ q=1+r=1,01 $ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 1 là: $ {{A}_{1}}=100\left( 1+r \right)-x=100q-x $ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 2 là: $ {{A}_{2}}={{A}_{1}}q-x=100{{q}^{2}}-xq-x $ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần cuối cùng – lần thứ 60 là: $ {{A}_{60}}=100{{q}^{60}}-x\left( {{q}^{59}}+{{q}^{58}}+...+1 \right)=100{{q}^{60}}-x.\left( \dfrac{{{q}^{60}}-1}{q-1} \right) $ .

Do sau $ 5 $ năm trả hết nợ nên $ {{A}_{60}}=0 $ suy ra $ x=\dfrac{100{{q}^{60}}.\left( q-1 \right)}{{{q}^{60}}-1}=\dfrac{100.{{\left( 1,01 \right)}^{60}}.0,01}{{{\left( 1,01 \right)}^{60}}-1}\approx 2,22 $ .

Vậy số tiền mỗi tháng ông A cần trả là khoảng $ 2,22 $ triệu đồng.

 

Câu 7: Một bác nông dân có số tiền $ 20.000.000 $ đồng. Bác dùng số tiền đó gửi ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất $ 8,5\% $ trên một năm thì sau 5 năm 8 tháng bác nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng bác không rút cả gốc lẫn lãi trong các định kì trước đó và nếu rút trước kì hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn $ 0,01\% $ trên một ngày. (Giả thiết một tháng tính 30 ngày).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số tiền cả gốc lẫn lãi mà Bác nhận được sau 5 năm 8 tháng là:
$ T=20{{\left( 1+8,5\%:2 \right)}^{11}}\left( 1+0,01\%.60 \right)\approx 31,80275009 $ triệu đồng.

Câu 8: Bà Ngân dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất $ 6,5\% $ một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Số tiền tối thiểu bà Ngân gửi vào ngân hàng để sau $ 3 $ năm số tiền lãi đủ để mua một chiếc xe máy trị giá $ 30 $ triệu đồng gần với giá trị nào sau đây nhất?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng công thức lãi kép $ {{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}, $ trong đó:
$ {{T}_{n}} $ là tổng số tiền vốn và lãi sau $ n $ kì,
$ A $ là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng,
$ r $ là lãi suất mỗi kì.
Khi đó số tiền lãi thu được sau $ n $ kì là $ {{T}_{n}}-A=A\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right] $ (*).
Áp dụng công thức (*) với $ n=3,\,\,r=6,5\% $ và $ {{T}_{n}}-A=30 $ (triệu đồng) ta được

$ 30=A\left[ {{\left( 1+6,5\% \right)}^{3}}-1 \right]\Rightarrow A\approx 144,27 $ (triệu đồng).

Vậy số tiền tối thiểu bà Ngân phải gửi vào ngân hàng gần với giá trị $ 145 $ triệu đồng nhất.

Câu 9: Một người gửi tiết kiệm $ 20.000.000 $ đồng loại kỳ hạn một năm vào ngân hàng với lãi suất $ 6,5\% $ một năm. Sau $ 5 $ năm $ 2 $ tháng người đó rút được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi. Biết nếu rút trước kì hạn thì ngân hàng trả theo lãi suất không kì hạn là $ 0,01\% $ một ngày ( $ 1 $ tháng tính $ 30 $ ngày).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng công thức lãi kép: $ A=a{{\left( 1+r \right)}^{n}} $
Trong đó: $ A $ là số tiền nhận được sau $ n $ kỳ hạn, $ a $ là số tiền gửi ban đầu, $ r $ là lãi suất mỗi kì hạn.
Số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được sau $ 5 $ năm là:

$ {{A}_{1}}=20000000.{{\left( 1+6,5\% \right)}^{5}}=27401733,27 $ (đồng)

Do người đó rút tại thời điểm $ 5 $ năm $ 2 $ tháng nên số tiền cả gốc lẫn lãi người đó rút được là số tiền $ {{A}_{1}} $ đồng được gửi theo ngày với lãi suất kép $ 0,01\% $ trong 60 ngày:
$ {{A}_{2}}={{A}_{1}}\cdot {{\left( 1+0,01\% \right)}^{60}}=27401733,27\cdot {{\left( 1+0,01\% \right)}^{60}}=27566629,62 $ (đồng)

Vậy sau $ 5 $ năm $ 2 $ tháng người đó rút được $ 27566629,62 $ đồng (cả gốc lẫn lãi).

Câu 10:

Một người gửi số tiền 1 tỷ đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm thì số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Nếu không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi thì sau 5 năm người đó nhận được số tiền là (đơn vị đồng, kết quả làm tròn đến hàng trăm)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất

Áp dụng công thức lãi kép, số tiền người đó thu được sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$

Áp dụng với $A=1.000.000.000$(đồng) và $r=0,06$ và $n=5$ ta có

${{A}_{5}}=1.000.000.000{{\left( 1,06 \right)}^{5}}=1.338.225.578$ (đồng)

Làm tròn ta được $1 338 225 600$ (đồng)

Câu 11: Một người vay ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả $ 40 $ triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là $ 0,65\% $ mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ A $ là số tiền vay, $ a $ là số tiền gửi hàng tháng $ r $ là lãi suất mỗi tháng.

Đến cuối tháng thứ $ n $ thì số tiền còn nợ là:

$ T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r} $

Hết nợ đồng nghĩa $ T=0\Leftrightarrow A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r}=0 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{a-Ar}{r}{{\left( 1+r \right)}^{n}}=\dfrac{a}{r}\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\dfrac{a}{a-Ar} $

Áp dụng với $ A=1 $ (tỷ), $ a=0,04 $ (tỷ), $ r=0,0065 $ ta được $ n\approx 27,37 $ .

Vậy cần trả $ 28 $ tháng.

Câu 12: Một người muốn gửi tiền vào ngân hàng để đến ngày $ 22/2/2020 $ rút được một khoản tiền là $ 50.000.000 $ đồng. Lãi suất ngân hàng là $ 0,55\% $ /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi vào ngày $ 22/3/2018 $ người đó phải gửi ngân hàng số tiền là bao nhiêu để đáp ứng nhu cầu trên, nếu lãi suất không thay đổi trong thời gian người đó gửi tiền? (làm tròn đến hàng nghìn).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ {{A}_{0}} $ là số tiền ban đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và $ r $ là lãi suất ngân hàng tính theo tháng.
Số tiền mà người đó có được sau $ n $ tháng là $ {{A}_{n}}={{A}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}} $ .
Áp dụng vào bài toán ta có : $ {{A}_{n}}=50.000.000 $  ; $ n=23 $  ; $ r=0,55\% $ .
Vậy vào ngày $ 22/3/2018 $ người đó phải gửi số tiền là $ {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}=\dfrac{50000000}{{{\left( 1+0,55\% \right)}^{23}}}\approx 44.074.000 $ .

Câu 13: Ông A có số tiền là $ 100.000.000 $ đồng gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép, có hai loại kỳ hạn: loại kỳ hạn $ 12 $ tháng với lãi suất là $ 12\%/ $ năm và loại kỳ hạn $ 1 $ tháng với lãi suất $ 1\%/ $ tháng. Ông A muốn gửi $ 10 $ năm. Theo anh chị, kết luận nào sau đây đúng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo phương thức lãi kép ta có số tiền ông A thực lĩnh sau $ 10 $ năm là:
Loại kỳ hạn $ 12 $ tháng với lãi suất là $ 12\%/ $ năm: $ {{P}_{10}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{10}}=100.000.000{{\left( 1+12\% \right)}^{10}}\approx 310.584.820 $ đồng
Loại kỳ hạn $ 1 $ tháng với lãi suất là $ 1\%/ $ tháng: $ {{P}_{120}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{120}}=100.000.000{{\left( 1+1\% \right)}^{120}}\approx 330.038.690 $ đồng
Số tiền gửi theo kỳ hạn $ 1 $ tháng có kết quả nhiều hơn kỳ hạn $ 1 $ năm là $ {{P}_{120}}-{{P}_{10}}\approx 19.454.000 $ đồng sau $ 10 $ năm.

Câu 14: Một gia đình có con vào lớp một, họ muốn để dành cho con một số tiền là $250.000.000$ để sau này chi phí cho $4$ năm học đại học của con mình. Hỏi bây giờ họ phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để sau $12$ năm họ sẽ được số tiền trên biết lãi suất của ngân hàng là $6,7\% $ một năm và lãi suất này không đổi trong thời gian trên?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đây là bài toán lãi kép với lãi suất  $6,7\%$ một năm, $P$ là số tiền ban đầu họ phải gửi vào ngân hàng.
Ta có:

$P{\left( {1 + 6,7\% } \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P{\left( {1,067} \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$
Vậy số tiền họ phải gửi vào ngân hàng ban đầu là $P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$ (đồng).

Câu 15: Bạn H trúng tuyển vào Trường Đại học Ngoại Thương nhưng vì không đủ tiền nộp học phí nên H quyết định vay ngân hàng trong bốn năm, mỗi năm 4 triệu đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi $ 3\% $ / năm. Ngay sau khi tốt nghiệp Đại học, bạn H thực hiện trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền (không đổi) với lãi suất theo cách tính mới là $ 0,25\%/ $ tháng trong vòng 5 năm. Tính số tiền hàng tháng bạn H phải trả cho ngân hàng (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

+ Số tiền bạn H đã vay sau bốn năm học đại học là: Lần 1: 4 triệu vay trong 4 năm;Lần 2: 4 triệu vay trong 3 năm;Lần 3: 4 triệu vay trong 2 năm;Lần 4: 4 triệu vay trong 1 năm.

Vậy sau bốn năm thì cả gốc lẫn lãi bạn H sẽ nợ là:

$ 4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{4}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{3}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{2}}+4000000.\left( 1+3\% \right)=17236543 $ (đồng).

+ Sau khi học hết đại học, bạn H bắt đầu trả theo lãi suất mới, trong vòng 60 tháng.

Đặt $ A=17326543;r=0,25\%;n=60 $ . Gọi số tiền trả nợ hàng tháng là $ x $ (đồng).

Cuối tháng 1: nợ số tiền là $ A.\left( 1+r \right) $ ;

trả $ x $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ A.\left( 1+r \right)-x $ .Cuối tháng 2: nợ số tiền là $ \left( A.\left( 1+r \right)-x \right).\left( 1+r \right)=A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right) $ trả $ x $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right)-x $ .……

Cuối tháng n: Nợ số tiền là

$ A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-x{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-...-x $

$ =A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right] $

$ =A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} $ .

Bạn H trả hết nợ sau 5 năm nghĩa là $ A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0 $ $ \Leftrightarrow x=\dfrac{A.r.{{\left( 1+r \right)}^{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1} $

Thay số: $ x=309718 $ (đồng) – làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 16: Sinh viên $ A $ vì không đủ tiền học phí nên quyết định vay ngân hàng trong 4 năm, mỗi năm $ 5.000.000 $ đồng để nộp học phí với lãi suất là $ 5\% $ / năm. Sau khi tốt nghiệm, $ A $ trả góp hàng tháng số tiền $ T $ cùng với lãi suất $ 0,3\% $ / tháng trong vòng 5 năm thì hết nợ. Hỏi số tiền $ T $ mà $ A $ phải trả cho ngân hàng gần nhất với kết quả nào dưới đây?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Sau 4 năm số tiền $ A $ nợ ngân hàng là $ S=5.000.000\times 1,{{05}^{4}}=6.077.531,25 $ đồng.
Đặt $ {{a}_{n}} $ là số tiền còn nợ sau tháng thứ $ n $ trả nợ, ta có:
$ {{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003 $ là số tiền còn nợ sau khi trả tháng đầu tiên và $ {{a}_{n}}=\left( {{a}_{n-1}}-T \right)\times 1,003 $
Ta chứng minh $ {{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right)\left( 1 \right) $
Với $ n=1 $ ta có $ {{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003 $ đúng theo cách đặt
Giả sử $ \left( 1 \right) $ đúng với $ n=k\left( k\ge 1 \right) $ ta có: $ {{a}_{k}}=S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right) $
Ta có:
$ \begin{array}{l}
& {{a}_{k+1}}=\left( {{a}_{k}}-T \right)\times 1,003=\left( S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right)-T \right)\times 1,003 \\
& =S\times 1,{{003}^{k+1}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k+1}} \right) \\
\end{array} $
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta có $ {{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right) $
Ta có $ 5 $ năm có $ 60 $ tháng
Ta có sau $ 5 $ năm thì $ A $ trả hết nợ
$ \Rightarrow {{a}_{59}}=T $ $ \Leftrightarrow 6.077.531,25\times 1,{{003}^{59}}-T\left( 1+1,003+...+1,{{003}^{59}} \right)=0 $
$ \Leftrightarrow T=110.501,7741 $ đồng.

Câu 17: Bác Hải gửi $ 100 $ triệu đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất $ 8\%/ $ năm. Sau $ 5 $ năm bác rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bác tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi bác Hải thu được sau $ 10 $ năm.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số tiền nhận được của bác Hải sau $ 5 $ năm đầu gửi ngân hàng là : $ {{T}_{1}}={{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}} $ .
$ \Rightarrow $ Số tiền lãi thu được sau $ 5 $ năm là: $ {{L}_{1}}={{T}_{1}}-{{100.10}^{6}} $ $ ={{100.10}^{6}}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
Số tiền thu được sau khi gửi vào ngân hàng $ 5 $ năm tiếp theo là: $ {{T}_{2}}=\left( \dfrac{{{T}_{1}}}{2} \right){{\left( 1+r \right)}^{5}} $ .
$ \Rightarrow $ Số tiền lãi thu được sau khi gửi lần $ 2 $ là: $ {{L}_{2}}={{T}_{2}}-\dfrac{{{T}_{1}}}{2}=\dfrac{{{T}_{1}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
$ =\dfrac{{{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
Vậy tổng số tiền lãi của bác Hải sau $ 10 $ năm gửi ngân hàng là: $ {{L}_{1}}+{{L}_{2}}\approx 81,413 $ triệu

Câu 18: Với cùng một dây tóc các bóng đèn điện có hơi bên trong có độ sáng cao hơn bóng đèn chân không bởi vì nhiệt độ dây tóc là khác nhau. Theo một định luật vật lý, độ sáng toàn phần của một vật thể bị nung đến trắng tỷ lệ với lũy thừa mũ 12 của nhiệt độ tuyệt đối của nó (độ K). Một bóng đèn hơi với nhiệt độ dây tóc là ${{2500}^{o}}K$có độ sáng lớn hơn bóng đèn chân không có nhiệt độ dây tóc là ${{2200}^{o}}K$bao nhiêu lần ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo giả thiết công thức tính độ sáng là $A={{A}_{0}}.{{t}^{12}}$ với ${{A}_{o}}$ là hằng số và $t$ là nhiệt độ tuyệt đối

Độ sáng của bóng đèn hơi là ${{A}_{1}}={{A}_{0}}{{.2500}^{12}}$

Độ sáng của bóng đèn chân không là ${{A}_{2}}={{A}_{0}}{{.2000}^{12}}$

Vậy $\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \dfrac{2500}{2200} \right)}^{12}}=4.64$ (lần)

Câu 19:

Tiêm vào người 1 bệnh nhân lượng nhỏ dung dịch chứa phóng xạ \[{}_{11}^{24}Na\]  có độ phóng xạ \[{4.10^3}Bp\]. Sau 5 tiếng người ta lấy 1$c{{m}^{3}}$ máu người đó thì thấy độ phóng xạ lúc này là \[H = 0,53Bp/c{m^3}\] , biết chu kì bán rã (là khoảng thời gian mà sau 1 chu kì thì lượng phóng xạ giảm đi 1 nửa) của Na24 là 15 (giờ). Thể tích máu người bệnh là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Giả sử thể tích máu của người bệnh là $x$ (lít). $T=15(h)$ là chu kì bán rã của chất phóng xạ.

Độ phóng xạ ban đầu là $a\text{  }(Bq)$

Độ phóng xạ sau $T\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{2}$, lượng phóng xạ sau $2T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{2}}}$, độ phóng xạ sau $3T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{3}}}$, …

Độ phóng xạ sau $nT\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{{{2}^{n}}}$

Vậy sau 5(h), độ phóng xạ còn lại trong toàn bộ cơ thể ($x$ lít) là $\dfrac{a}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}=\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}\text{  }\left( Bq \right)$

Khi đó độ chất phóng xạ có trong 1 $c{{m}^{3}}$ là $\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}:\left( x{{.10}^{3}} \right)=0,53\Rightarrow x=5,99\text{ }$

Vậy thể tích máu người bệnh là 6 lít.

Câu 20: Anh $ A $ vay trả góp ngân hàng số tiền $ 500 $ triệu đồng với lãi suất $ 0,8\%/th\acute{a}ng $ , và trả lãi vào cuối mỗi tháng. Mỗi tháng trả $ 10 $ triệu đồng vào cuối mỗi tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh $ A $ trả hết nợ, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất ngân hàng và số tiền trả hàng tháng của anh $ A $ là không thay đổi.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đây là bài toán vay vốn trả góp.
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau $ n $ tháng vay $ \left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) $ là:
$ {{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} $ .
Trong đó số tiền vay là $ A=500 $ triệu đồng, lãi suất $ r=0,8\%/th\acute{a}ng $ , số tiền trả hàng tháng là $ X=10 $ triệu đồng. Ta có $ {{S}_{n}}=500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%} $ .
Để sau đúng $ n $ tháng hết nợ, thì $ {{S}_{n}}=0 $ $ \Leftrightarrow 500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%}=0 $
$ \begin{array}{l}
& \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}\left( 500-\dfrac{10}{0,8\%} \right)=-\dfrac{10}{0,8\%} \\
& \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}=\dfrac{5}{3} \\
& \Leftrightarrow n={{\log }_{1,008}}\dfrac{5}{3}\simeq 64,11 \\
\end{array} $
Vậy sau $ 65 $ tháng, anh $ A $ trả hết nợ ngân hàng.

Câu 21: Ông $X$ gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất không đổi $0,5\%/$ tháng. Do nhu cầu cần chi tiêu, cứ mỗi tháng sau đó, ông rút ra 1 triệu đồng từ số tiền của mình. Cứ như vậy cho đến khi rút hết tiền trong tài khoản thì lần cuối rút tiền ông $X$ rút  được số tiền là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng công thức

$ T=A{{\left( 1+r \right)}^{x}}-m\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{x}}-1}{r}\,\,\, $

Trong đó:

Ø $ A $ là tổng số tiền gửi ban đầu.

Ø $ T $ là số tiền còn lại trong ngân hàng ở thời điểm cuối tháng (năm) thứ $ x. $

Ø $ r $ là lãi suất tính theo tháng (năm)

Ø $ m $ là số tiền rút ra hàng tháng (năm)

Ø $ x $ là thời điểm muốn biết trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền.

Cuối tháng thứ 138, trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền:

$ T=100{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1.\dfrac{{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1}{0,5\%}\approx 970926 $ đồng

Nhưng vì cuối tháng 139 người này mới rút tiền nên số tiền này sẽ sinh lãi. Đến cuối tháng 139, số tiền người đó rút được là:

$ T=970926(1+0,5\%)\approx 975781 $ đồng