Tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{1-x}{x+2}=2x-1 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -2 \\ & 2{ x ^ 2 }+3x-2=1-x \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{10}} 2 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm.

Ta thấy đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}-2}{x+3}$ nên đường thẳng không cắt đồ thị hàm số.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ { x ^ 3 }-4x+5=3-x\Leftrightarrow { x ^ 3 }-3x+2=0\Leftrightarrow x=1;x=-2 $

Với $ x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left( 1;2 \right) $ , với $ x=-2\Rightarrow y=5\Rightarrow B\left( -2;5 \right) $ . Ta có $ AB=3\sqrt{2} $ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-3x+5=2x+2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-5x+3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}+1}{1-x}$ cắt trục $Oy$$\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }+2{ x ^ 2 }+x+3=2x+5 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }+2{ x ^ 2 }-x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-1 \\ & x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 3 điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+3x+5=2x-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+x+6=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1\Rightarrow y=-3 \\ & x=3\Rightarrow y=5 \\ & x=2\Rightarrow y=3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tích tung độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là $ -45 $ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-6x+10=2x-2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-8x+12=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-3 \\ & x=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tích hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là $ -6 $

$ d:2x+y-3=0\Leftrightarrow y=-2x+3 $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-6{ x ^ 2 }+10x-5=-2x+3 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-6{ x ^ 2 }+12x-8=0 \\ & \Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-1 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại điểm có tọa độ $ \left( 2;-1 \right) $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+6x-1=x+1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+5x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2\Rightarrow y=3 \\ & x=1\Rightarrow y=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^ 2 }+{{\left( 3-2 \right)}^ 2 }}=\sqrt{2} $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-6x+10=2x-2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-8x+12=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-3\Rightarrow y=-8 \\ & x=2\Rightarrow y=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tọa độ trung điểm I của AB là $ \left( -\dfrac{1}{2} ;-3 \right) $

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{6x}{x+1}=x+2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -1 \\ & { x ^ 2 }+3x+2=6x \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1\Rightarrow y=3 \\ & x=2\Rightarrow y=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{2} ;\dfrac{7}{2} \right) \\ \end{array} $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & 8{ x ^ 3 }+12{ x ^ 2 }+6x-1=-2 \\ & \Leftrightarrow 8{ x ^ 3 }+12{ x ^ 2 }+6x+1=0 \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.

Phương trình trục tung là $x=0$ mà hàm đã cho xác định khi $x\ne 0$ nên số giao điểm là$0$

$ d:x-2y-2=0\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2} x-1 $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-2{ x ^ 2 }-\dfrac{1}{2} x+1=\dfrac{1}{2} x-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-2{ x ^ 2 }-x+2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tổng hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là $ 2 $ .

Phương trình hoành độ giao điểm $x^3 - 3x^2 - 2=0$ có $1$ nghiệm thực.
$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 2$ cắt trục $Ox$ tại $1$ điểm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & -2{ x ^ 3 }+x-3=2x-1 \\ & \Leftrightarrow 2{ x ^ 3 }+x+2=0 \\ \end{array} $

Sử dụng Casio ta thấy, phương trình có 1 nghiệm.

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+3x+5=2x-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+x+6=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1\Rightarrow y=-3 \\ & x=3\Rightarrow y=5 \\ & x=2\Rightarrow y=3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $ G\left( \dfrac{4}{3} ;\dfrac{5}{3} \right) $

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+6x-1=x+1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }-4{ x ^ 2 }+5x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2 \\ & x=1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 2 điểm phân biệt.

Đồ thị $ \left( { C _ m } \right) $ cắt trục Oy tại $ M\left( 0;m \right) $ . Suy ra $ OM=\left| m \right|=4\Leftrightarrow m=\pm 4 $ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-x+1=-x+3 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 3 }+{ x ^ 2 }-2=0 \\ & \Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=2 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) giao nhau tại 1 điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{3-x}{2x-1}=x+2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne \dfrac{1}{2} \\ & 2{ x ^ 2 }+3x-2=3-x \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}} 2 \Rightarrow y=\dfrac{2\pm \sqrt{14}} 2 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow { y _ 1 }+{ y _ 2 }=2 $

Phương trình hoành độ giao điểm:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{3x-2}{x-1}=-x+2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 1 \\ & -{ x ^ 2 }+3x-2=3x-2 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow x=0 \\ \end{array} $

$ \Rightarrow $ Hai đồ thị giao nhau tại 1 điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

$ \begin{array}{l} & \dfrac{x+1}{x-2}=2x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 2 \\ & x+1=\left( 2x-1 \right)\left( x-2 \right) \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 2 \\ & 2{ x ^ 2 }-6x+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 2 \\ & x=\dfrac{3\pm \sqrt{7} } 2 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{3+\sqrt{7} } 2 ;y=2+\sqrt{7} \\ & x=\dfrac{3-\sqrt{7} } 2 ;y=2-\sqrt{7} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

Suy ra $ { y _ 1 }+{ y _ 2 }=2+\sqrt{7} +\left( 2-\sqrt{7} \right)=4 $ .

Vì đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số luôn cắt trục hoành tại một điểm.