Tọa độ của vector và các phép toán
Lý thuyết về Tọa độ của vector và các phép toán
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ với các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}$ trên các trục, cho một vectơ $\overrightarrow{u}$.
Ta nói bộ ba số $(x; y; z)$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ đối với hệ tọa độ $Oxyz$ và kí hiệu là $\overrightarrow{u} = (x; y; z)$ hoặc $\overrightarrow{u} (x;y;z)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}.$
Tính chất. Cho các vectơ $\overrightarrow{u_1} = (x_1; y_1; z_1), \overrightarrow{u_2} = (x_2; y_2; z_2)$ và một số thực $k$ tùy ý, ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{y_1} = {y_2}\\
{z_1} = {z_2}
\end{array} \right.\\
\overrightarrow {{u_1}} \pm \overrightarrow {{u_2}} = ({x_1} \pm {x_2};{y_1} \pm {y_2};{z_1} \pm {z_2})\\
k\overrightarrow {{u_1}} = (k{x_1};k{y_1};k{z_1})
\end{array}\]
Hai vectơ $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ khác vectơ-không được gọi là cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số $k$ sao cho $\overrightarrow{u_1} = k\overrightarrow{u_2}$ hay $x_1 : y_1 : z_1 = x_2 : y_2 : z_2$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Trong không gian $ Oxyz $ , cho biểu diễn của vectơ $ \vec{a} $ qua các vectơ đơn vị $ \vec{a}=2\vec{i}+\vec{k}-3\vec{j} $ . Tọa độ của vectơ $ \vec{a} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \vec{a}=2\vec{i}+\vec{k}-3\vec{j}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}\Rightarrow \vec{a}=\left( 2;\,-3;\,1 \right) $ .
Câu 2: Trong không gian $ Oxyz $ , cho hai điểm $ A\left( 1;-1;1 \right) $ , $ B\left( -2;3;-2 \right) $ . Khi đó $ \left| \overrightarrow{AB} \right| $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( -3;4;-3 \right) $ suy ra $ \left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{34} $ .
Câu 3: Trong không gian $ Oxyz $ , tìm tọa độ điểm $ A $ đối xứng với $ B\left( 1;3;-5 \right) $ qua gốc tọa độ $ O\left( 0;0;0 \right) $ ?
- A
- B
- C
- D
Tọa độ điểm \[ A \] đối xứng với $ B\left( a;b;c \right) $ qua gốc tọa độ \[ O\left( 0;0;0 \right) \] là $A(-a;-b;-c)$
Khi đó tọa độ điểm \[ A \] đối xứng với \[ B\left( 1;3;-5 \right) \] qua gốc tọa độ \[ O\left( 0;0;0 \right) \] là $A(-1;-3;5)$
Câu 4: Cho $ M\left( -1;3;-2 \right) $ . Điểm $ M' $ là hình chiếu vuông góc của $ M $ lên trục $ Oz $ . Tọa độ của $ M' $ là :
- A
- B
- C
- D
Câu 5: Trong không gian $ Oxyz $ , cho hai điểm $ A\left( 1\,;\,-1\,;\,-3 \right) $ và $ B\left( -2\,;1\,;\,-1 \right) $ . Độ dài đoạn thẳng $ AB $ bằng
- A
- B
- C
- D
Vì $ AB=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17} $ .
Câu 6: Trong không gian Oxzy cho 2 vectơ $\overrightarrow{a}\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right),\overrightarrow{b}\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}} \right),k\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là sai
- A
- B
- C
- D
Các phép toán vecto trong SGK, $k\overrightarrow{a}=\left( k{{a}_{1}};k{{a}_{2}},k{{a}_{3}} \right)$ Khẳng định ${{k}^{3}}\overrightarrow{a}=\left( k{{a}_{1}};k{{a}_{2}},k{{a}_{3}} \right)$ sai.
Câu 7: Trong không gian $ Oxyz $ , cho hai điểm $ A\left( 1;-3;1 \right),B\left( 3;0;-2 \right) $ . Tính độ dài đoạn $ AB $ .
- A
- B
- C
- D
Ta có $ AB=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0+3 \right)}^{2}}+{{\left( -2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{22} $ .
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{a}\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right),\overrightarrow{b}\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}} \right),$ khi đó $m\,\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ bằng : $\left( m,n\in \mathbb{R} \right)$
- A
- B
- C
- D
Theo biểu thức tọa độ của các phép toán vecto ta có
$m\,\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\left( m{{a}_{1}}+n{{b}_{1}};m{{a}_{2}}+n{{b}_{2}};m{{a}_{3}}+n{{b}_{3}} \right)$
Câu 9: Cho bốn vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 2;0;3 \right),\overrightarrow{b}=\left( -3;-18;0 \right),\overrightarrow{c}=\left( 2;0;-2 \right)\) và \(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\dfrac{\overrightarrow{b}}{3}+3\overrightarrow{c}\). Trong các bộ số sau, bộ số nào là tọa độ của \(\overrightarrow{x}\) ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a = \left( {2;0;3} \right)\\ \overrightarrow b = \left( { - 3; - 18;0} \right)\\ \overrightarrow c = \left( {2;0; - 2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\overrightarrow a = \left( {4;0;6} \right)\\ - \dfrac{{\overrightarrow b }}{3} = \left( {1;6;0} \right)\\ 3\overrightarrow c = \left( {6;0; - 6} \right) \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\dfrac{\overrightarrow{b}}{3}+3\overrightarrow{c}=\left( 11;6;0 \right)\). Vậy \(\overrightarrow{x}=\left( 11;6;0 \right)\)
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm $ M\left( 1;2;3 \right). $ Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm
- A
- B
- C
- D
Phương pháp: Điểm $ M\left( a;b;c \right) $ có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: $ {{M}_{1}}\left( a;0;0 \right),{{M}_{2}}\left( 0;b;0 \right) $ và $ {{M}_{3}}\left( 0;0;c \right) $ .
Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là $ Q\left( 0;2;0 \right) $
Câu 11: Trong không gian $ Oxyz $ , cho hai điểm $ A\left( 1;\,1;\,-1\, \right) $ , $ B\left( 2;\,3;\,2 \right) $ . Vectơ $ \overrightarrow{AB} $ có tọa độ là
- A
- B
- C
- D
$ \overrightarrow{AB}=\,\left( 1;\,2;\,3 \right) $ .
Câu 12: Cho điểm $ M\left( 1;2;-3 \right) $ , hình chiếu vuông góc của điểm $ M $ trên mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ là điểm
- A
- B
- C
- D
Câu 13: Trong không gian $ Oxyz $ , cho các vectơ $ \overrightarrow{a}=\left( -2;-3;1 \right) $ và $ \overrightarrow{b}=\left( 1;0;1 \right) $ . Côsin góc giữa hai vectơ $ \overrightarrow{a} $ và $ \overrightarrow{b} $ bằng $ $
- A
- B
- C
- D
Côsin góc giữa hai vectơ $ \overrightarrow{a} $ và $ \overrightarrow{b} $ là: $ \cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|} $ $ =\dfrac{-1}{\sqrt{14}.\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{7}} $ .
Câu 14: Cho \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;2 \right)\). Giá trị của a, b sao cho $\overrightarrow{v}=\left( -2;a;b \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$ là
- A
- B
- C
- D
$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương với nhau $\Rightarrow \dfrac{1}{-2}=\dfrac{-1}{a}=\dfrac{2}{b}\Rightarrow a=2;b=-4$
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các véctơ $\vec{a}(3;-2;1),\vec{b}\left( 1;1;5 \right)$, tọa độ véctơ $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ là
- A
- B
- C
- D
Nếu $\vec{a}\left( {{x}_{a}},{{y}_{a}},{{z}_{a}} \right)$ và $\vec{b}\left( {{x}_{b}},{{y}_{b}},{{z}_{b}} \right)$ thì $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}=\left( {{x}_{a}}-{{x}_{b}};{{y}_{a}}-{{y}_{b}};{{z}_{a}}-{{z}_{b}} \right)$
Câu 16: Trong không gian, cho hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-2 \right)$ . Tọa độ $\overrightarrow{C{D}}$ có thể là
- A
- B
- C
- D
$ABC{D}$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{D}}=-\overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;2 \right)$,
Câu 17: Cho $\vec{u}=\left( -1;0;3 \right)$, tọa độ $\vec{v}=-2\vec{u}$ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $\overrightarrow{v}=\left( a;b;c \right)$
$\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=-2\left( -1 \right) \\
& b=-2.0 \\
& c=-2.3 \\
\end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left( 2;0;-6 \right)$
Câu 18: Trong không gian $ Oxyz $ , cho điểm $ A\left( 3;\,-1;\,1 \right) $ . Hình chiếu vuông góc của $ A $ trên mặt phẳng $ \left( Oyz \right) $ là điểm
- A
- B
- C
- D
Hình chiếu của $ A\left( 3;\,-1;\,1 \right) $ lên mặt phẳng $ \left( Oyz \right) $ là điểm $ N\left( 0;\,-1;\,1 \right) $ .
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MB}\ne \overrightarrow{0},k\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
- A
- B
- C
- D
$\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MB}\ne \overrightarrow{0},k\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, suy ra :
$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ là hai vectơ cùng phương nhưng giá của chúng có thể trùng nhau, có thể song song nên A, M, B chưa chắc thẳng hàng (M không nằm giữa A, B) và $MA=\left| k \right|MB$
Chọn đáp án : ‘‘$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ là hai vectơ cùng phương’’
Câu 20: Cho điểm $ A\left( 4;1;-1 \right) $ , $ B\left( 0;2;3 \right) $ . Độ dài đoạn thẳng $ AB $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( -4;1;4 \right) $ $ \Rightarrow AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{33} $ .
Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $ A\left( 1;-1;2 \right);B\left( 2;1;1 \right). $ Độ dài đoạn AB bằng
- A
- B
- C
- D
$ AB=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{6} $.
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz, $ cho $ \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k} $ . Tìm tọa độ của vectơ $ \overrightarrow{a} $ . $ $
$ \overrightarrow{a} $ . $ $
- A
- B
- C
- D
Từ $ \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\left( -1;2;-3 \right) $ .
Câu 23: Trong không gian $ Oxyz $ , điểm nào thuộc mặt phẳng $ \left( xOy \right) $ ?
- A
- B
- C
- D
Điểm thuộc mặt phẳng $ \left( xOy \right) $ sẽ có cao độ bằng 0. Từ đó, tachọn được $ Q\left( 2\,;\,1\,;\,0 \right) $ là điểm thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 24: Trong không gian $ Oxyz $ , hình chiếu vuông góc của điểm $ M\left( 2\,;\,1\,;\,-1 \right) $ trên trục $ Oz $ có tọa độ là
- A
- B
- C
- D
Hình chiếu vuông góc của điểm $ M\left( 2\,;\,1\,;\,-1 \right) $ trên trục $ Oz $ có tọa độ là $ \left( 0\,;\,0\,;\,-1 \right) $ .
Câu 25: Trong không gian cho $\overrightarrow{u}\left( 2;1;-1 \right),\,\overrightarrow{v}\left( -6;-3;3 \right)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta thấy $\dfrac{-6}{2}=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{3}{-1}=-3\Rightarrow \overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$