Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác

Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác

Lý thuyết về Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác

1. Khái niệm hàm số tuần hoàn

Hàm số $y=f\left( x \right)$xác định trên tập hợp $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\ne 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có

$x+T\in D,x-T\in D$ và $f\left( x+T \right)=f\left( x \right).$

Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T.$

2. Hàm số $y = \sin{x}$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi.$

    Tổng quát: Hàm số $y=\sin \left( ax+b \right)$với $a\ne 0$  tuần hoàn với chu kỳ $\dfrac{2\pi }{\left| a \right|}.$

3. Hàm số $y = \cos{x}$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi.$

    Tổng quát: Hàm số $y=\cos \left( ax+b \right)$với $a\ne 0$  tuần hoàn với chu kỳ $\dfrac{2\pi }{\left| a \right|}.$

4. Hàm số $y = \tan{x}$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi.$

    Tổng quát: Hàm số $y=\tan \left( ax+b \right)$với $a\ne 0$  tuần hoàn với chu kỳ $\dfrac{\pi }{\left| a \right|}.$

5. Hàm số $y = \cot{x}$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi.$

   Tổng quát: Hàm số $y=\cot \left( ax+b \right)$với $a\ne 0$  tuần hoàn với chu kỳ $\dfrac{\pi }{\left| a \right|}.$

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tìm chu kì T của hàm số \(y=\tan 3\pi x\)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hàm số $y=\tan \left( ax+b \right)$tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{\pi }{\left| a \right|}. $

Áp dụng. Hàm số $y=\tan 3\pi x$tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{1}{3}$.

Câu 2: Chu kỳ của hàm số $ y=\tan x $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tập xác định của hàm số: $ D=\mathbb R \backslash \left\{ \dfrac{\pi } 2 +k\pi , k\in \mathbb Z \right\} $ .

Với mọi $ x\in D $ , $ k\in \mathbb Z $ ta có $ x-k\pi \in D $ và $ x+k\pi \in D $ , $ \tan \left( x+k\pi \right)=\tan x $ .

Vậy $ y=\tan x $ là hàm số tuần hoàn với chu kì $ \pi $ (ứng với $ k=1 $ ) là số dương nhỏ nhất thỏa $ \tan \left( x+k\pi \right)=\tan x $ .

Câu 3: Chu kì T của hàm số \(y=\tan 3x+cotx\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hàm số \(y=\cot \left( ax+b \right)\)tuần hoàn với chu kì \(T=\dfrac{\pi }{\left| a \right|}. \)

Áp dụng. Hàm số \(y=\tan 3x\)tuần hoàn với chu kì \({{T}_{1}}=\dfrac{\pi }{3}\). Hàm số \(y=cotx\) tuần hoàn với chu kì \({{T}_{2}}=\pi \). Suy ra hàm số \(y=\tan 3x+cotx\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi \). Chọn B Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của \({{T}_{1}}\) và \({{T}_{2}}\).

Câu 4: Chu kì của hàm số. \(y=\sin \left( 5x-\dfrac{\pi }{4} \right)\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hàm số \(y=\sin \left( ax+b \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\dfrac{2\pi }{\left| a \right|}\).

Áp dụng. Hàm số \(y=\sin \left( 5x-\dfrac{\pi }{4} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\dfrac{2\pi }{5}\).

Câu 5: Chu kỳ của hàm số $ y=\cot x $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tập xác định của hàm số: $ D=\mathbb R \backslash \left\{ k\pi , k\in \mathbb Z \right\} $ .

Với mọi $ x\in D $ , $ k\in \mathbb Z $ ta có $ x-k\pi \in D $ và $ x+k\pi \in D $ , $ \cot \left( x+k\pi \right)=\cot x $ .

Vậy $ y=\cot x $ là hàm số tuần hoàn với chu kì $ \pi $ (ứng với $ k=1 $ ) là số dương nhỏ nhất thỏa $ \cot \left( x+k\pi \right)=\cot x $ .

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Vì hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \)

Câu 7: Chu kỳ của hàm số $ y=\sin x $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tập xác định của hàm số: $ D=\mathbb R $ .

Với mọi $ x\in D $ , $ k\in \mathbb Z $ ta có $ x-k2\pi \in D $ và $ x+k2\pi \in D $ , $ \sin \left( x+k2\pi \right)=\sin x $ .

Vậy $ y=\sin x $ là hàm số tuần hoàn với chu kì $ 2\pi $ (ứng với $ k=1 $ ) là số dương nhỏ nhất thỏa $ \sin \left( x+k2\pi \right)=\sin x $ .

Câu 8: Chu kỳ của hàm số $ y=\cos x $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tập xác định của hàm số: $ D=\mathbb R $ .

Với mọi $ x\in D $ , $ k\in \mathbb Z $ ta có $ x-k2\pi \in D $ và $ x+k2\pi \in D $ , $ \cos \left( x+k2\pi \right)=\cos x $ .

Vậy $ y=\cos x $ là hàm số tuần hoàn với chu kì $ 2\pi $ (ứng với $ k=1 $ ) là số dương nhỏ nhất thỏa $ \cos \left( x+k2\pi \right)=\cos x $ .

Câu 9: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Chọn \(y={{x}^{2}}\cos x\).