Định nghĩa
Cho hàm số $f$ có đạo hàm cấp $n-1$ (với $n\in N,n\ge 2$) là ${{f}^{\left( n-1 \right)}}$ . Nếu ${{f}^{\left( n-1 \right)}}$ là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số $f$ và ký hiệu là ${{f}^{\left( n \right)}}$ . Nói cách khác,
${{f}^{\left( n \right)}}=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}} \right]',\left( n\in N,n\ge 2 \right)$
Đạo hàm cấp n của hàm số $y=f\left( x \right)$ còn được kí hiệu là ${{y}^{\left( n \right)}}$ .
Ví dụ: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-1$. Tính ${{y}^{\left( 3 \right)}}$.
Ta có:
$y'=4{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-4x+1$ ,
$y''=\left( y' \right)'=12{{x}^{2}}+36x-4$ ,
${{y}^{\left( 3 \right)}}=\left( y'' \right)'=24x+36$
CHÚ Ý: Với những bài toán tính đạo hàm cấp quá lớn hay những bài toán dạng tổng quát yêu cầu tính đạo hàm cấp n, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tính $f'\left( x \right),f''\left( x \right),{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right),..$ . Từ đó quan sát các kết quả và dự đoán công thức chung cho ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)$.
Bước 2: Dùng quy nạp để chứng minh cho dự đoán trên là đúng.
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số $ \dfrac{1}{{}x+1} $
Ta có
$\begin{array}{l}
y' = - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}};y'' = \dfrac{2}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}\\
y''' = \dfrac{{ - 2.3}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}......
\end{array}$
Ta dự đoán $ {{\left( \dfrac{1}{{}x+1} \right)}^{(n)}}=\dfrac{{{(-1)}^ n }.n!}{{{(1+x)}^{n+1}}}\,\,\left( 1 \right) $ .
Giả sử $ \left( 1 \right) $ đúng với $ n=k $ ta chứng minh $ (1) $ đúng với $ n=k+1 $
$ {{\left( \dfrac{1}{{}x+1} \right)}^{(k+1)}}={{\left( \dfrac{{{(-1)}^ k }.k!}{{{(1+x)}^{k+1}}} \right)}^{\prime }}={{(-1)}^ k }.k!.\dfrac{-1.(k+1)}{{{(1+x)}^{k+2}}}. $
$ y '=-20{ x ^ 4 }+12{ x ^ 3 }+2\left( \sqrt{3} -2 \right)x-3; $
$ y ''=-80{ x ^ 3 }+36{ x ^ 2 }+2\left( \sqrt{3} -2 \right); $
$ \begin{align} & { y ^{(3)}}=-240{ x ^ 2 }+72x\,; \\ & { y ^{(4)}}=-480x\,; \\ & { y ^{(5)}}=-480\,; \\ & { y ^{(6)}}=0. \\ \end{align} $
Điều kiện: $ x\ne 3 $
$ f(x)=\dfrac{x(x-3)+5}{x-3}=x+\dfrac{5}{{}x-3} $ .
$ \Rightarrow \,\, f '(x)=1-\dfrac{5}{{}{{(x-3)}^ 2 }}\,;\,\,\, f ''(x)=\dfrac{10}{{{(x-3)}^ 3 }}\,;\,{ f ^{(3)}}(x)=\dfrac{-30}{{{(x-3)}^ 4 }} $ .
$ P={ f ^{(3)}}(x)-2 f '(x)=\dfrac{-30}{{{(x-3)}^ 4 }}-2\left( 1-\dfrac{5}{{}{{(x-3)}^ 2 }} \right)=\dfrac{10}{{{(x-3)}^ 2 }}-\dfrac{30}{{{(x-3)}^ 4 }}-2 $ .
Thay $ x=5 $ vào ta có: $ P=\dfrac{10}{{{(5-3)}^ 2 }}-\dfrac{30}{{{(5-3)}^ 4 }}-2=-\dfrac{11} 8 . $