Định lý:
Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm trên $J$ thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm trên $J$ và
\[\left( {u + v} \right)' = u' + v'\]
\[\left( {u - v} \right)' = u' - v'\]
\[\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\] và \[\left( {ku} \right)' = k.u'\] với \[k\] là hằng số
\[\dfrac{u}{v} = \dfrac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\] \[\left( {v \ne 0} \right)\]
Ví dụ: \[\left( {{x^5} - \sqrt x + 2} \right)' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {\sqrt x } \right)' + \left( 2 \right)' = 5{x^4} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\]
Đạo hàm hàm số hợp
\[{g_x}' = {f_u}'.{u_x}'\] với \[g\left( x \right) = f\left[ {u\left( x \right)} \right]\]
Hệ quả:
\[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}u'\]
\[\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = - \dfrac{{u'}}{{{u^2}}}\]
\[\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\]
Ví dụ: \[\left( {\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \right)' = \dfrac{{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }} = \dfrac{{4{x^3} - 2x}}{{2\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }}\]
Ta có \(y'=-4\cos 2x\Rightarrow y'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=-2\)
Có $f(x)=ax+b$$\Rightarrow $${f}'(x)=a.$
Ta có \[y' = - \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2x}}{{3.\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]
Kiểm tra đáp án A $y=\dfrac{{{x}^{3}}-1}{x}={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}\Rightarrow {y}'=2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ đúng.
Ta có \(y'=\dfrac{-2x-1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{3}\)
Ta có \(y'=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-\dfrac{2}{3}\)
Có $y=10$$\Rightarrow $${y}'=0.$
Ta có \(y'=6{{x}^{2}}-2\Rightarrow y'\left( 0 \right)=-2\)
$f'\left( x \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{4+3x}}\Rightarrow f'\left( 4 \right)=\dfrac{3}{8}$
$\Rightarrow A=2+3=5$