Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Các quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết về Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý:

Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm trên $J$ thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm trên $J$ và 

          \[\left( {u + v} \right)' = u' + v'\]

          \[\left( {u - v} \right)' = u' - v'\]

          \[\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\] và \[\left( {ku} \right)' = k.u'\] với \[k\] là hằng số

          \[\dfrac{u}{v} = \dfrac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\]   \[\left( {v \ne 0} \right)\]

Ví dụ: \[\left( {{x^5} - \sqrt x  + 2} \right)' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {\sqrt x } \right)' + \left( 2 \right)' = 5{x^4} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\]

Đạo hàm hàm số hợp  

          \[{g_x}' = {f_u}'.{u_x}'\] với \[g\left( x \right) = f\left[ {u\left( x \right)} \right]\]

Hệ quả: 

          \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}u'\]

          \[\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' =  - \dfrac{{u'}}{{{u^2}}}\]

          \[\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\]

Ví dụ: \[\left( {\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \right)' = \dfrac{{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }} = \dfrac{{4{x^3} - 2x}}{{2\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }}\]

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=-2\sin 2x+3\) tại \({{x}_{0}}=\dfrac{\pi }{6}\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \(y'=-4\cos 2x\Rightarrow y'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=-2\)

Câu 2: Cho hàm số $f(x)=ax+b.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Có $f(x)=ax+b$$\Rightarrow $${f}'(x)=a.$

Câu 3: Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Ta có $y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right)$
$\Rightarrow y'=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)$

Câu 4: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=2{{x}^{3}}-2x-1\) tại \({{x}_{0}}=0\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Ta có \(y'=6{{x}^{2}}-2\Rightarrow y'\left( 0 \right)=-2\)

Câu 5: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x+1}\)tại \({{x}_{0}}=1\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Ta có \(y'=\dfrac{-2x-1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{3}\)

Câu 6: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+2}\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \[y' =  - \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2x}}{{3.\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

Câu 7: Hàm số nào sau đây có $y'=2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Kiểm tra đáp án A $y=\dfrac{{{x}^{3}}-1}{x}={{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}\Rightarrow {y}'=2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ đúng.

Câu 8: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x+1}\)tại \({{x}_{0}}=1\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \(y'=\dfrac{-2x-1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{3}\)

Câu 9: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{5-4x}\) tại \({{x}_{0}}=-1\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Ta có \(y'=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-\dfrac{2}{3}\)

Câu 10: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{5-4x}\) tại \({{x}_{0}}=-1\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \(y'=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-\dfrac{2}{3}\)

Câu 11:  Đạo hàm của hàm số \[y=10\]

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$y=10$$\Rightarrow $${y}'=0.$

Câu 12: Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=2{{x}^{3}}-2x-1\) tại \({{x}_{0}}=0\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \(y'=6{{x}^{2}}-2\Rightarrow y'\left( 0 \right)=-2\)

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{4+3x}$ . Giá trị của $A=f\left( 0 \right)+8{f}'\left( 4 \right)$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$f'\left( x \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{4+3x}}\Rightarrow f'\left( 4 \right)=\dfrac{3}{8}$
$\Rightarrow A=2+3=5$