Tìm quỹ tích điểm qua phép vị tự

Phương pháp

Để tìm tập hợp điểm \[M\] ta có thể quy về tìm tập hợp điểm \[N\] và tìm một phép vị tự \[{{V}_{\left( I;k \right)}}\] nào đó sao cho \[{{V}_{\left( I;k \right)}}\left( N \right)=M\] suy ra quỹ tích điểm \[M\] là ảnh của quỹ tích \[N\] qua \[{{V}_{\left( I;k \right)}}\].

Ví dụ: Cho đường tròn \[\left( O;R \right)\] và một điểm \[I\] nằm ngoài đường tròn sao cho \[OI=3R\], \[A\] là một điểm thay đổi trên đường tròn \[\left( O;R \right)\]. Phân giác trong góc \[\widehat{IOA}\] cắt \[IA\] tại điểm \[M\]. Tìm tập hợp điểm \[M\] khi \[A\] di động trên \[\left( O;R \right)\].

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có \[\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{OI}{OA}=\dfrac{3R}{R}=3\]

\[\Rightarrow IM=\dfrac{3}{4}IA\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IA}\]

\[\Rightarrow {{V}_{\left( I;\dfrac{3}{4} \right)}}\left( A \right)=M\] , mà \[A\] thuộc đường tròn \[\left( O;R \right)\] nên \[M\] thuộc \[\left( O';\dfrac{3}{4}R \right)\] ảnh của \[\left( O;R \right)\] qua \[{{V}_{\left( I;\dfrac{3}{4} \right)}}\]. Vậy tập hợp điểm \[M\] là \[\left( O';\dfrac{3}{4}R \right)\] ảnh của \[\left( O;R \right)\] qua \[{{V}_{\left( I;\dfrac{3}{4} \right)}}\].