Bài toán giao tuyến của 2 mặt phẳng
Lý thuyết về Bài toán giao tuyến của 2 mặt phẳng
Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\]thường được tìm như sau :
Tìm hai đường thẳng \[a,b\] lần lượt thuộc \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\], đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng \[\left( \gamma \right)\] nào đó; giao điểm \[M=a\cap b\] chính là điểm chung của \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\].
Ví dụ: Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy \[ABCD\] là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \[M\] thuộc cạnh \[SA\]. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
a) \[\left( SAC \right)\] và \[\left( SBD \right)\] b) \[\left( SAC \right)\] và \[\left( MBD \right)\]
c) \[\left( MBC \right)\] và \[\left( SAD \right)\] d) \[\left( SAB \right)\] và \[\left( SCD \right)\]
Lời giải:
a) Gọi \[O=AC\cap BD\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\
O \in BD \subset \left( {SBD} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)
\end{array}\]
Lại có \[S\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\]
\[\Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\].
b) \[O=AC\cap BD\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\
O \in BD \subset \left( {MBD} \right)
\end{array} \right.\]\[\Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\].
Và \[M\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\Rightarrow OM=\left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\].
c) Trong \[\left( ABCD \right)\] gọi \[F = BC \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F \in BC \subset \left( {MBC} \right)\\
F \in AD \subset \left( {SAD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\]
Và \[M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\Rightarrow FM=\left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\]
d) Trong \[\left( ABCD \right)\] gọi \[E=AB\cap CD\], ta có \[SE=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\].
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc vào các cạnh AC, BC, sao cho MN không song song AB; Gọi đường thẳng b là giao tuyến các (SAN) và (SBM). Tìm b ?
- A
- B
- C
- D
Gọi \(J=AN\cap BM\).
Ta có \(\left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=S\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\begin{align}
& J\in AN,AN\in \left( SAN \right)\Rightarrow J\in \left( SAN \right) \\
& J\in BM,BM\in \left( SBM \right)\Rightarrow J\in \left( SBM \right) \\
& \Rightarrow \left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=J\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=SJ\)
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:
- A
- B
- C
- D
Gọi G là giao điểm của AN và MD
B là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
G là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là BG.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và DB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là đường thẳng
- A
- B
- C
- D
Ta có: \(\left( SAB \right)\cap \left( SBC \right)=SB\)
Câu 4: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
- A
- B
- C
- D
Hai mặt phẳng có một điểm trung có thể trùng nhau. Do đó phát biểu "Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất" là sai.
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác. Gọi $M, N$ lần lượt là hai điểm thuộc vào các cạnh $AC, BC$, sao cho $MN$ không song song $AB$. Gọi đường thẳng b là giao tuyến các $(SAN)$ và $(SBM)$. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Gọi $J=AN\cap BM$.
Ta có $S \in \left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
$ \left\{\begin{array}{l} J \in AN,AN \subset \left( SAN \right) \Rightarrow J \in \left( SAN \right)\\ J \in BM, BM \subset \left( SBM \right) \Rightarrow J \in \left( SBM \right) \end{array}\right. \Rightarrow J \in \left( SAN \right) \cap \left( SBM \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=SJ$.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
Gọi O là giao 2 đường chéo trong hình bình hành
\(\begin{align}
& \left( IAC \right)\equiv \left( SAC \right),\left( JBD \right)\equiv \left( SBD \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO\Rightarrow \left( IAC \right)\cap \left( JBD \right)=SO \\
\end{align}\)
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
- A
- B
- C
- D
Gọi O là giao 2 đường chéo trong hình bình hành, dễ nhận thấy M,N,O thẳng hàng. Ta có: S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC)
O là điểm chung thứ hai phẳng của 2 mp (SMN) và (SAC)
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO.
Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:
- A
- B
- C
- D
Gọi G là giao điểm của AN và MD
B là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
G là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là BG.
Câu 9: Cho hình chóp $S.ABC$ thỏa mãn $SA\text{ }=\text{ }SB\text{ }=\text{ }SC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A
- B
- C
- D
$\left( SAH \right)\cap \left( SBC \right)=SE, E$ là giao của AH với BC.
Nên $\left( SAH \right)\cap \left( SBC \right)=SH$ là sai.
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và DB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAO) và (SBC) là
- A
- B
- C
- D
Ta có $\left( SAO \right)\equiv \left( SAC \right),\left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC$
$\Rightarrow \left( SAO \right)\cap \left( SBC \right)=SC$
Câu 11: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A
- B
- C
- D
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất là sai.
Vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.
Câu 12: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $DB$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SDO)$ và $(SBC)$ là đường thẳng:
- A
- B
- C
- D
Ta có \(\left( SDO \right)\equiv \left( SBD \right),\left( SBD \right)\cap \left( SBC \right)=SB\Rightarrow \left( SDO \right)\cap \left( SBC \right)=SB\)
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và DB. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là đường thẳng nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
Ta có: \(\left( SAB \right)\cap \left( SBC \right)=SB\)
Câu 14: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD\left( AB//CD \right)$ Khẳng định nào sau đâu là sai?
- A
- B
- C
- D
Giao tuyến của hai mặt $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ là đường thẳng $SA$.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $DB.$ Ta có Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SDO)$ và $(SBC)$ là đường thẳng
- A
- B
- C
- D
Ta có $\left( SDO \right)\equiv \left( SBD \right),\left( SBD \right)\cap \left( SBC \right)=SB\Rightarrow \left( SDO \right)\cap \left( SBC \right)=SB$
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và DB. Ta có Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAO) và (SBC) là đường thẳng
- A
- B
- C
- D
Ta có \(\left( SAO \right)\equiv \left( SAC \right),\left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC\Rightarrow \left( SAO \right)\cap \left( SBC \right)=SC\)
Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC, BD$. Gọi $G, H, K$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(CHK)$ và $(SBD)$ là
- A
- B
- C
- D
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {H \in SB,SB \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow H \in \left( {SBD} \right)}\\ {H \in \left( {CHK} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow H \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {CHK} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {K \in SD,SD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right)}\\ {K \in \left( {CHK} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {CHK} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right). \end{array}$
$\Rightarrow \left( SBD \right)\cap \left( CHK \right)=HK$.
Câu 18: Chóp hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD (AD // BC)$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ là:
- A
- B
- C
- D
Ta có $S \in \left( MSB \right); \left( SAC \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Gọi \(I=AC\cap BM\)
\[I \in \left( {MSB} \right);\left( {SAC} \right)\left( 2 \right)\]
Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow \left( MSB \right)\cap \left( SAC \right)=SI$
Câu 19: Trong các khẳng định sau khẳng định nào là sai?
- A
- B
- C
- D
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau là đáp án sai.
Phát biểu đúng phải là
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
Câu 20: Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Giao tuyến giữa hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) v\grave a \left( SCD \right) $ là $ \Delta $ . Cho các khẳng định sau:
1. $ \Delta $ đi qua S.
2. $ \Delta //AB $.
3. $ \Delta //CD $.
4. $ \Delta //AD $.
5. $ \Delta //BC $.
- A
- B
- C
- D
Sử dụng tính chất: Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến của chúng đồng quy hoặc song song với nhau.
Ta có:
$ \left. \begin{align} & S\in (SAB)\cap (SCD) \\ & (SAB)\cap (ABCD)=AB \\ & (SCD)\cap (ABCD)=CD \\ & AB//CD \\ \end{align} \right\}\Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=Sx//AB//CD $
$ \Rightarrow $ Khẳng định 1, 2, 3 đúng .
Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A
- B
- C
- D
Do $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung là $S$ nên $S \in d$. Mà AD//BC nên giao tuyến cần xác định là $d$ qua $S$ và song song với $BC$.