130 câu trắc nghiệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Định nghĩa

d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3. Tính chất

• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

• •

• •

• •

4. Định lí ba đường vuông góc

Cho , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Nếu d ⊥ (P) thì = 90⁰.

• Nếu thì = với d′ là hình chiếu của d trên (P).

Chú ý: 0⁰ ≤ ≤ 90⁰.

B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng, trong đó. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu thì . B. Nếu thì.

C. Nếu thì. D. Nếu thì .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng và điểm . Qua có mấy đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Qua điểm có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với , các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với .

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng.

Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu đường thẳng thì vuông góc với hai đường thẳng trong .

B. Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì .

C. Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong .

D. Nếu và đường thẳng thì .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.

Câu 5: Trong không gian tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định và là

A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . B. Đường trung trực của đoạn thẳng .

C. Mặt phẳng vuông góc với tại . D. Đường thẳng qua và vuông góc với .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực.

Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng và điểm. Qua có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với cho trước?

A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 7: Qua điểm cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước?

A. B. Vô số C. D.

Hướng dẫn giải:

Theo tiên đề qua điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Δ

Chọn đáp án A.

Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng không nằm trong mp , đường thẳng được gọi là vuông góc với mp nếu:

A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp

B. vuông góc với đường thẳng mà song song với mp

C. vuông góc với đường thẳng nằm trong mp

D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng .(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Vậy đáp án D đúng.

Câu 9: Cho là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Nếu và thì

B. Nếu vuông góc với mặt phẳng và thì

C. Nếu và thì

D. Nếu , và cắt thì vuông góc với mặt phẳng

Hướng dẫn giải:

Nếu thì và có thể trùng nhau nên đáp án A sai.

Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Hướng dẫn giải:

Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Vậy chọn đáp án .

Câu 11: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Nếu và thì B. Nếu và thì.

C. Nếu và thì . D. Nếu và thì .

Câu 12: Cho hai đường thẳng và . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu và thì . B. Nếu và thì .

C. Nếu và thì . D. Nếu và thì .

Hướng dẫn giải:

Câu A sai vì có thể vuông góc với .

Câu B đúng bởi sao cho , . Khi đó .

Câu C sai vì có thể nằm trong .

Câu D sai vì có thể nằm trong .

Vậy chọn B.

Câu 13: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Qua một điểm cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước.

C. Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D. Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 14: Tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó và đi qua:

A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. B. Trọng tâm tam giác đó.

C. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. D. Trực tâm tam giác đó.

Câu 15: mệnh đề đúng trong các mặt phẳng sau:

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

Hướng dẫn giải::

Đáp án A sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.

Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau.

Chọn đáp án D.

Câu 16: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song với nhau.

C. Cho hai mp song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt mp này thì cũng vuông góc với mp kia.

D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hướng dẫn giải:

Vì qua một đường thẳng dựng được vô số mặt phẳng

Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với thì vuông góc với mặt phẳng

B. Nếu đường thẳng song song với đường thẳng và song song với mặt phẳng thì song song hoặc nằm trên mặt phẳng

C. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Câu 18: Cho hình chóp có và tam giác vuông tại . Vẽ , . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. trùng với trọng tâm tam giác . B. trùng với trực tâm tam giác .

C. trùng với trung điểm của . D. trùng với trung điểm của .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Do nên . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà vuông tại nên là trung điểm của .

Câu 19: Cho hình chóp thỏa mãn. Tam giác vuông tại. Gọi là hình chiếu vuông góc của lên. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn A.

Câu 20: Cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau . Gọi là hình chiếu của lên mặt đáy . Khẳng định nào sau đây sai?

A. .

B. Tứ giác là hình bình hành.

C. Tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

D. Các cạnh , , , hợp với đáy những góc bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

và là hình chiếu của lên mặt đáy

Nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra . Nên đáp án B sai.

Câu 21: Cho hình chóp có và tam giác không vuông, gọi lần lượt là trực tâm các tam giác và . Các đường thẳng thỏa mãn:

A. Đồng quy. B. Đôi một song song.

C. Đôi một chéo nhau. D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải:

Gọi là đường cao của tam giác mà

nên

Câu 22: Cho hình chóp có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu của trên là:

A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C. Trọng tâm tam giác D. Giao điểm hai đường thẳng và

Hướng dẫn giải:

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh

Theo định lý ba đường vuông góc ta có lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh

là tâm dường tròn nội tiếp của

Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó.

B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau.

C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều.

D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.

Câu 24: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng?

A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành.

B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.

C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau.

D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đương thẳng ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong .

Cách 2. Chứng minh vuông góc với đường thẳng mà vuông góc với .

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

• Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Câu : Cho hình chóp có và vuông ở , là đường cao của . Khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Do nên câu A đúng.

Do nên câu B và D đúng.

Vậy câu C sai.

Câu 1: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh .

A. B.

C. D.

b) Gọi là đường cao của tam giác , thì khẳng định nào sau đây đúng nhất. Chứng minh .

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:.

a) Ta có nên .

Do đó Chọn A

b) Ta có

Vậy .Chọn B

Câu 2: Cho tứ diện có và . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có .

Câu 3: Cho hình chóp có và Số các mặt của tứ diện là tam giác vuông là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Có là tam giác vuông tại

Ta có là các tam giác vuông tại

Mặt khác là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Biết và . Khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Tam giác cân tại có là trung tuyến cũng là đường cao .

Tam giác cân tại có là trung tuyến cũng là đường cao .

Từ đó suy ra .

Do là hình thoi nên không vuông góc với . Do đó không vuông góc với .

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, Gọi lần lượt là các đường cao của tam giác và tam giác Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy:

Tương tự :

Từ vậy đáp án D đúng.

Câu 6: Cho hình chóp có cạnh và đáy là tam giác cân ở . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Do cân tại nên . Suy ra . Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.

Câu 7: Cho tứ diện . Vẽ . Biết là trực tâm tam giác . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải::

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hình chóp có cạnh và đáy là tam giác cân ở . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải::

Ta có .

Từ đó suy ra nên A, B, C đúng.

Đáp án D sai trong trường hợp và không bằng nhau Chọn đáp án D.

Câu 9: Cho tứ diện thoả mãn Gọi là hình chiếu của lên mp Đối với ta có điểm là:

A. Trực tâm. B. Tâm đường tròn nội tiếp.

C. Trọng tâm. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.

Hướng dẫn giải:

Câu 10: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau. Gọi là hình chiếu của trên . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:

A. là trực tâm .

B. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

C. .

D. là đường cao của .

Hướng dẫn giải::

Ta có và .

Tương tự, ta có , suy ra đáp án A, D đúng.

Ta có , với , suy ra đáp án C đúng.

Chọn đáp án B.

Câu 11: Cho tứ diện có và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. là trực tâm tam giác . B. .

C. . D. Các khẳng định trên đều sai.

Hướng dẫn giải::

Ta có . Tương tự

Suy ra là trực tâm . Suy ra đáp án A, B đúng.

Ta có , suy ra C đúng.

Chọn đáp án D.

Câu 12: Cho tứ diện có và Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Câu 13: Cho hình chóp có Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác và. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A. B. C. D. đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Ta có

Ta có

Mặt khác có hay , tương tự nên

Gọi là giao điểm của và . Do hay đường thẳng

trùng với đường thẳng . Hay đồng quy.

Do đó sai

Chọn đáp án C.

Câu 14: Cho hai hình chữ nhật và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Gọi và lần lượt là đường cao của hai tam giác và . Chứng minh rằng :

a) Khẳng định nào sau đây là đúng về 2 tam giác và ?

A. và là các tam giác vuông B. và là các tam giác tù

C. và là các tam giác nhọn D. và là các tam giác cân

b) Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:.

a) Ta có

..

Vậy

,hay vuông tại .

Tương tự

vuông tại .

b) Ta có , mặt khác .

Tương tự .

Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Biết .

a)Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. B.

C. D. Cả A, B, C đều sai

b) Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. B. C. D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:.

a) Ta có là trung điểm của và

.

Tương tự .

Vậy .Chọn D

b) Ta có ( do là hình thoi).

Lại có ( do )

Suy ra .Chọn D

Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có

Do tứ giác là hình thoi nên mà nên

không vuông góc

Chọn đáp án D.

Câu 17: Cho hình chóp có đáy là hình vuông và . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , và . Khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. .

C. Góc giữa và có số đo . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Do và nên . Vậy A đúng.

Do và nên nên D đúng.

Do và nên nên B đúng.

Vậy C sai.

Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, Gọi là trung điểm của và . Gọi là trung điểm của cạnh .

a) Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B. C. D. Cả A, B, C đều sai

b) Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. B.

C. D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:.

a) Ta có

lại có

.

b) Dễ thấy

mà

hay , mặt khác ta có .

Câu 19: Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góC. Gọi là hình chiếu của lên Khẳng định nào sau đây sai?

A. B.

C. là trực tâm D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án B đúng.

Ta có: Tương tự

Từ và là trực tâm Đáp án C đúng.

Chọn đáp án D.

Câu 20: Cho hình chóp có . Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác và . Khẳng định nào sau đây là đúng

a) và đồng qui.

A. AH và BC chéo nhau B. AH và SK chéo nhau

C. và đồng qui. D. và không đồng qui.

b) Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. B. C. D. Cả A, B, C đều sai

c) .Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B. C. D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:.

a) Gọi , để chứng minh và đồng qui.

Ta cần chứng minh là đường cao của tam giác , nhưng điều này đúng do và .

b) Ta có

thêm nữa ta có

Vậy .

b) Theo các chứng minh trên ta có

và do đó .

Câu 21: Cho hình tứ diện có , , đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm cách đều bốn điểm , , , .

A. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

B. là trọng tâm tam giác .

C. là trung điểm cạnh .

D. là trung điểm cạnh .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi là trung điểm của .

Từ giả thiết ta có . Vậy vuông tại .

Do đó (1)

Mặt khác vuông tại .

Do đó (2)

Từ (1) và (2) ta có .

Câu 22: Cho tứ diện có và . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có .

Câu 23: Cho tứ diện . Vẽ . Biết là trực tâm tam giác . Khẳng định nào sau đây không sai?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Do .

Mặt khác, là trực tâm nên .

Suy ra nên .

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và .

a) Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. B. C. A, B đều đúng D. A, B là sai

b) Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B.

C. D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:.

a) Vì là trung điểm của và tam giác đều nên

Lại có

Do đó

vuông tại

Vậy .

b) Ta có và

.

Tương tự ( như bài 32) và .

Câu 25: Cho hình lập phương . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Từ

Vậy chọn đáp án .

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, là giao điểm của 2 đường chéo và . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có: là tam giác cân

Mặt khác: là trung điểm của (tính chất hình thoi)

Khi đó ta có:

Vậy chọn đáp án .

Câu 27: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, . Mặt phẳng qua và vuông góc với cắt theo thứ tự tại . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi

là mặt phẳng và vuông góc với

Qua kẻ

Khi đó:

Ta có: , mà không vuông góc với .

Vậy chọn đáp án .

Câu 28: Cho hình chóp trong đó là hình chữ nhật, . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có :

Giả sử (vô lý)

Hay không thể là tam giác vuông

Vậy chọn đáp án .

Câu 29: Cho hình chóp có Gọi là hình chiếu vuông góc của lên Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. là trung điểm . B. là trọng tâm tam giác .

C. là trung điểm . D. là trung điểm .

Hướng dẫn giải:

Gọi

Ta có : đều

vuông cân tại

vuông tại

Gọi là trung điểm của thì là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác Gọi là trục của tam giác thi đi qua và

Mặt khác : nên . Vậy nên là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

Vì lần lượt là trực tâm của tam giác và nên lần lượt thuộc và

Vậy đồng quy tại

Câu 30: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau. Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng . Xét các mệnh đề sau :

I. Vì nên .

II. Do nên

III. Có và nên

IV. Từ và

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

. Vậy đúng.

. Vậy đúng.

. Vậy đúng.

. Vậy đúng.

Vậy chọn đáp án .

Câu 31: Cho hình hộp Có đáy là hình thoi và Gọi Hình chiếu của trên là :

A. trung điểm của B. trọng tâm

C. giao của hai đoạn và D. trọng tâm

Hướng dẫn giải:

Vì hình chiếu của trên trùng với là tâm đường tròn ngoại tiếp

Mà tứ giác là hình thoi và nên là tam giác đều

Từ & là trọng tâm

Chọn đáp án B.

DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta thực hiện theo các bước sau:

• Tìm giao điểm
• Dựng hình chiếu của một điểm xuống
• Góc chính là góc giữa đường thẳng và .

Lưu ý:

• Để dựng hình chiếu của điểm trên ta chọn một đường thẳng khi đó .
• Để tính góc ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông . Ngoài ra nếu không xác định góc thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo công thức trong đó là VTCP của còn là vec tơ có giá vuông góc với .

Câu 1: Cho tứ diện có cạnh , , bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa và là góc . B. Góc giữa và là góc .

C. Góc giữa và là góc . D. Góc giữa và là góc .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Từ giả thiết ta có .

Do đó .

Câu 2: Cho tam giác vuông cân tại và . Trên đường thẳng qua vuông góc với lấy điểm sao cho . Tính số đo góc giữa đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

.

Câu 3: Cho tứ diện có cạnh vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Góc giữa và là góc . B. Góc giữa và là góc .

C. Góc giữa và là góc. D. Góc giữa và là góc .

Hướng dẫn giải:

Do vuông góc với nhau từng đôi một nên , suy ra là hình chiếu của lên .

Chọn B.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cạnh huyền . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm. Biết . Tính số đo của góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi là trung điểm của suy ra

.

Ta có: .

.

Câu 5: Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh bằng và . Biết . Tính góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

là hình vuông cạnh .

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm của cạnh . Biết tam giác là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa và

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do là hình chiếu của lên mặt phẳng nên

Vậy là hình chiếu của lên mp

Ta có:

Mà: . Vậy tam giác vuông cân tại

Câu 7: Cho hình thoi có tâm , . Lấy điểm không thuộc sao cho . Biết . Tính số đo của góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

.

Mặt khác

Suy ra số đo của góc giữa và bằng .

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm của cạnh . Biết tam giác là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

.

và là hai tam giác đều cạnh

vuông cân tại .

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , Gọi là góc giữa và mp Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Vì nên là hình chiếu vuông góc của lên

Góc giữa giữa và mp bằng góc

Xét tam giác vuông tại có:

Câu 10: Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh bằng và Biết . Tính góc giữa và

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Câu 11: Cho hình lập phương. Gọi là góc giữa và mp Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Câu 12: Cho hình chóp có và tam giác không vuông, gọi lần lượt là trực tâm các và . Số đo góc tạo bởi và là?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải::

Gọi . Ta có và .

Ta lại có .

Mà , suy ra

Chọn đáp án B.

Câu 13: Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. là trực tâm tam giác .

B. là trọng tâm tam giác .

C. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

D. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Hướng dẫn giải:

Do hình chóp có và nên là trục của hình chóp . . Nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Vậy chọn C.

Câu 14: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cạnh huyền . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm . Biết . Tính số đo của góc giữa và .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Có nên là hình chiếu của lên

.

Áp dụng định lý Pytago

Xét tam giác có

.

Vậy chọn C.

Câu 15: Cho hình chóp có và vuông ở . là đường cao của . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do nên . Nên Phương án A đúng.

Có . Phương án D đúng.

Suy ra , . Phương án B, D đúng.

Phương án C sai. Thật vậy với , ta có (vô lý).

Vậy chọn C.

Câu 16: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khi và song song (hoặc trùng với ).

C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì mặt phẳng song song với mặt phẳng .

D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì song song với .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Câu 17: Cho góc tam diện với Trên các tia lần lượt lấy các điểm sao cho . Tam giác có đặc điểm nào trong các số các đặc điểm sau :

A. Vuông cân. B. Đều.

C. Cân nhưng không vuông. D. Vuông nhưng không cân.

Hướng dẫn giải:

Xét có .

đều

có .

Từ đó vuông tại

Vậy chọn D.

Câu 18: Cho hình chóp có và đáy là hình chữ nhật. Gọi là tâm của và là trung điểm của . Khẳng định nào sau đây sai ?

A.

B.

C. là mặt phẳng trung trực của đoạn

D. Tam giác vuông ở

Hướng dẫn giải:

Có là đường trung bình tam giác nên nên . Phương án A đúng.

Có . Phương án B đúng

Và nên phương án D đúng.

Phương án C sai. Thật vậy nếu là mặt phẳng trung trực của (vô lý).

Vậy chọn C.

Câu 19: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Với mỗi điểm và mỗi điểm thì ta có đường thẳng vuông góc với giao tuyến của và

D. Nếu hai mặt phẳng và đều vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến của và nếu có sẽ vuông góc với

Hướng dẫn giải:

Phương án A sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Phương án B sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Phương án C sai.

Vậy chọn D.

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Gọi là góc giữa và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do nên là hình chiếu của lên

Xét tam giác có

Vậy chọn B.

Câu 21: Cho hình chóp , với đáy là hình bình hành tâm đôi một vuông góc . là mặt phẳng qua trung điểm của và vuông góc với . Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng?

A. 20. B. 16. C. 17. D. 36.

Hướng dẫn giải:

Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh , nên diện tích thiết diện là

Câu 22: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và . Gọi là trọng tâm . Độ dài là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra hình chóp là hình chóp tam giác đều. Gọi là trung điểm của , ta có .

Mặt khác ta có:

Câu 23: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và . Gọi G là trọng tâm . Xét mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Tìm hệ thức liên hệ giữa và để cắt tại điểm nằm giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Để nằm giữa và thì

Chọn đáp án C

Câu 24: Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Điểm cách đều là:

A. Trung điểm . B. Trung điểm . C. Trung điểm . D. Trung điểm .

Hướng dẫn giải:

Sử dụng tính chất trung điểm của tam giác vuông

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Biết . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Do hình chóp có đáy là hình thoi tâm , nên

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình vuông. Mặt bên là tam giác đều có đường cao vuông góc với . Gọi là góc giữa và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm , suy ra . Ta có: . Suy ra

Câu 27: Cho tứ diện đều. Gọi là góc giữa và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải::

Gọi là hình chiếu của lên , là độ dài cạnh của tứ diện .

Ta có , . Chọn đáp án A.

Câu 28: Cho tam giác vuông cân tại và. Trên đường thẳng qua vuông góc với lấy điểm sao cho . Tính số đo góc giữa đường thẳng và

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Câu 29: Cho hình lập phương . Gọi là góc giữa và mp. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có

Câu 30: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là , khi đó nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

là hình chiếu của trên

là hình chiếu của trên

Từ

Xét tam giác vuông tại ta có:

Xét tam giác vuông tại ta có:

Vậy chọn đáp án .

Câu 31: Cho hình thoi có tâm , . Lấy điểm không thuộc sao cho . Biết . Tính số đo của góc giữa và .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Câu 32: Cho hình chóp có và tam giác không vuông. Gọi lần lượt là trực tâm và . Số đo góc tạo bởi và là:

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Mà

Vậy chọn đáp án .

DẠNG 3: THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.

Phương pháp:

Để xác định thiết diện của mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với , khi đó sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở ( dạng 2, §2 chương II).

Cách 2. Ta dựng mặt phẳng như sau:

Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với trong đó có một đường thẳng đi qua , khi đó chính là mặt phẳng .

Câu 130: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều, . Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với. Thiết diện của và hình chóp là:

A. Hình thang vuông. B. Tam giác đều. C. Tam giác cân. D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của , kẻ .

Ta có .

Do đó hay thiết diện là tam giác .

Mà nên hay thiết diện là tam giác vuông.

Chọn D.

Câu 1: Cho tứ diện đều cạnh, gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải:

Thiết diện là tam giác , với là trung điểm của . Gọi là trung điểm của .

Ta có ; .

Diện tích thiết diện là:

.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh bên Mặt phẳng đi qua trung điểm của và vuông góc với cắt lần lượt tại Tứ giác là hình gì ?

A. Hình thang vuông. B. Hình thang cân. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy

Mà

Từ

Tương tự ta có

Mà

Vậy thiết diện là hình thang vuông tại

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều, là trung điểm của đường cao của tam giác vuông góc với đáy. Gọi là điểm tùy ý trên (không trùng với và ). mặt phẳng qua và vuông góc với. Thiết diện của và hình chóp là hình gì?

A. Hình thang cân B. Hình thang vuông C. Hình bình hành D. Tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng vuông góc với nên song song với

Suy ra cắt theo giao tuyến là đường thẳng

qua và song song với cắt tại K

Từ giả thiết suy ra song song , do đó sẽ cắt

lần lượt là các đường thẳng qua và

song song với cắt lần lượt tại

. Do đó thiết diện là tứ giác

Ta có và cùng song song suy ra là

trung điểm của và là trung điểm của, lại có các

tam giác đều và tam giác cân tại suy ra vuông góc với và dó đó là hình thang cân.

Chọn đáp án A.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và (). Gọi là trọng tâm. Xét mặt phẳng đi qua và vuông góc với tại điểm nằm giữa và. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Kẻ . Thiết diện là tam giác .

Ta có

Gọi là trung điểm của . Dễ thất tam giác cân tại , suy ra .

.

Do đó:

.

Chọn A.

Câu 5: Tam giác có, đường cao . Trên đường thẳng vuông góc với tại, lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là trung điểm của và. Diện tích tam giác bằng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do

Mà . Do là trung điểm

Câu 6: Cho hình chóp có đáylà tam giác đều cạnh Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với Thiết diện của hình chóp được cắt bởi có diện tích bằng?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của thì

Hiển nhiên

Mà

Từ và suy ra

Khi đó thiết diện của hình chóp được cắt bởi chính là

vuông tại nên

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , ,. Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với. Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Kẻ

Thiết diện của mặt phẳng và hình chóp là tam giác có diện tích :

Câu 8: Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác đều cạnh là điểm trên sao cho là mặt phẳng qua và vuông góc với Thiết diện của và tứ diện có diện tích bằng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

là hai tam giác đều cạnh là tam giác đều cạnh là tam giác đều cạnh

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho tứ diện đều cạnh , là đường cao của tam giác. Mặt phẳng qua vuông góc với cắt mp theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có :

Tương tự :

Suy ra :

Kẻ đi qua trọng tâm của và song song với chính là mặt phẳng

Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều:

Gọi là trọng tâm thì là tâm và

Trong kẻ qua đường thẳng song song với cắt lần lượt tại

Ta có . Vậy

.

Câu 10: Cho hình chóp , với đáy là hình thang vuông tại , đáy lớn , , vuông góc với mặt phẳng , . Gọi là trung điểm. là mặt phẳng qua và vuông góc với. Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Do

Gọi là trung điểm của

Gọi là trung điểm của

Gọi là trung điểm của , mà

Vậy thiết diện của và hình chóp là hình thang vuông tại

Ta có:

là đường trung bình của tam giác

là đường trung bình của tam giác

là đường trung bình của hình thang

Khi đó

Vậy chọn đáp án .

Câu 11: Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Kẻ .

a) Khẳng định nào đúng nhất? là trực tâm của .

A. là trực tâm của . B. là tâm đường tròn nội tiếp của .

C. là trọng tâm của . D. là tâm đường tròn ngoại tiếp của .

b) là tam giác gì?

A. là tam giác nhọn. B. là tam giác tù

C. là tam giác vuông D. là tam giác cân

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. B.

C. D.

d) Tìm tập hợp các điểm trong không gian sao cho .

A. thuộc mặt phẳng đi qua và vuông góc với , trong đó là điểm cách đều 4 điểm và là trọng tâm của tam giác

B. thuộc mặt phẳng đi qua và song song với ,trong đó là điểm cách đều 4 điểm và. là trọng tâm của tam giác

C. thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với , trong đó là trọng tâm của tam giác

D. thuộc mặt phẳng đi qua O và song song với , trong đó là trọng tâm của tam giác

Hướng dẫn giải:.

a) Ta có

Lại có

Vậy

.

Tương tự .

Từ suy ra là trực tâm của tam giác .

b) Đặt

Ta có

Tương tự

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ta có

suy ra nhọn.

Tương tự các góc nhọn.

c) Ta có

d) Gọi là điểm cách đều 4 điểm và là trọng tâm của tam giác thì ta có :

( do )

Vậy thuộc mặt phẳng đi qua và vuông góc với .

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và . Tính .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:.

Ta có Tương tự suy ra

nên thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Mặt khác

vuông tại , lại có là trung điểm của nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , do đó .

Ta có

.

Câu 13: Cho hình vuông có tâm và cạnh bằng . Trên đường thẳng qua vuông góc với lấy điểm . Biết góc giữa và có số đo bằng . Tính độ dài .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Do .

Do đó vuông cân tại nên .

Câu 14: Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc giữa các đường thẳng với mặt phẳng .

Tìm Giá trị nhỏ nhất của .

A. B. 8 C. 1 D.

Hướng dẫn giải:.

Gọi là hình chiếu của trên

Khi đó là trực tâm của tam giác .

Và

Đặt

Gọi thì là đường cao của tam giác nên

Vậy

Tương tự và

Nhân theo vế các BĐT ta được ( đpcm)

Câu 15: Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính cố định và là điểm di động trên đường tròn này. Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy một điểm .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. các mặt của tứ diện là tam giác vuông

B. các mặt của tứ diện là tam giác vuông cân

C. tam giác vuông tại A.

D. tam giác vuông cân tại .

b) Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. . B. C. A, B đều đúng D. A, B đều sai

c) Tìm tập hợp điểm khi di động.

A. thuộc đường tròn đường kính .

B. thuộc đường tròn đường kính AC.

C. thuộc đường tròn đường kính BM.

D. thuộc đường tròn đường kính AB.

d) Tìm vị trí của để đoạn lớn nhất.

A. B.

C. D.

e) Tìm vị trí của để diện tích tam giác lớn nhất.

A. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính

B. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính

C. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính

D. là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính

Hướng dẫn giải:.

a) Ta có suy ra các tam giác và vuông tại .

Tiếp theo ta có

hay tam giác vuông tại .

b) Ta có

.

Vậy .

c) Dễ thấy cố định và nên điểm thuộc đường tròn đường kính .Từ đó ta có tập hợp các điểm là đường tròn đường kính .

d) mà không đỏi nên lớn nhất khi lớn nhất .

e) Ta có không đổi nên

, lúc này vuông cân tại nên .

Ta có

nên

Vậy là các giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn tâm bán kính

Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , mặt bên là tam giác vuông tại , mặt bên vuông tại và .

a) Tính .

A. B. C. D.

b) Đường thẳng qua vuông góc với cắt lần lượt tại . Gọi là hình chiếu của trên .Gọi là các giao điểm của với .

Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. B. C. D. Cả A, B, C đều đúng

Hướng dẫn giải:.

a) vuông tại mà

.

Tương tự ta có nên .

Ta có

.

Vậy .

b) Do

Lại có

Dế thấy

Từ suy ra .

Lập luận tương tự ta có .

Câu 17: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , và . Gọi là điểm trên cạnh và , mặt phẳng đi qua và vuông góc với

Giả sử thiết diện của hình chóp với là tứ giác .

a) Hỏi tứ giác là hình gì

A. Hình chữ nhật B. hình vuông C. hình thang D. hình bình hành

b) Tìm để diện tích thiết diện lớn nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:.

. Ta có

Do đó Tương tự

.

Thiết diện là tứ giác .

b) Ta có và nên là hình bình hành.

Mặt khác . Vậy là hình chữ nhật.

b) Ta có ,

khi .

Câu 18: Cho hình vuông có tâm và cạnh bằng . Trên đường thẳng qua vuông góc với lấy điểm . Biết góc giữa và có số đo bằng . Tính độ dài .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Do .

Do đó vuông cân tại nên .

Câu 19: Cho tứ diện có đôi một vuông góc và . Độ dài :

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải::

Ta có:

Mặt khác:

Vậy chọn đáp án .

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua vuông góc với . Tính diện tích thiết diện.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:.

Gọi là hình chiếu của trên thì .Trong gọi .

Ta có

, mặt khác nên .

Vậy

Thiết diện là tứ giác .

b) Do

Ta có cân tại., mà nên là trung điểm của .

Vậy .

Câu 21: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , đường cao . Gọi là điểm thuộc đường cao của tam giác . Xét mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Đặt . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi .

Giả sử tính được diện tích thiết diện theo và . Xác định vị trí của để diện tích thiết diện lớn nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:.

Vì là hình chóp đều nên

( là tâm tam giác ).Do đó mà .

Tương tự ta cũng có

Trường hợp 1. thì thiết diện là điểm .

Trường hợp 2. thì thuộc đoạn .

Ta có :

Tương tự .

Thiết diện là tam giác .

Trường hợp 3. khi đó thuộc đoạn

Tương tự như trường hợp trên ta có:

.

.

Thiết diện là tứ giác .

Trường hợp 4. thì thiết diện là đoạn .

b) Xét các trường hợp:

,

, thì .

Ta có

Tương tự .

Vậy .

, dễ thây là hình thang nên

,

Vậy .

Xét các trường hợp ta thấy lớn nhất trong trường hợp và khi .

Câu 22: Cho tam giác tại có cạnh huyền nằm trên mặt phẳng và các cạnh góc vuông tạo với các góc . Giả sử là độ lớn góc giữa đường cao với .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:.

Kẻ thì là góc giữa và và dễ thấy

Đặt , ta có

.

Xét tam giác có

.

Ta có .

Câu 23: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm .

, đường thẳng tạo với hai mặt phẳng và các góc bằng nhau. Gọi là hình chiếu của trên .

a)Tính khi

A. B. C. D.

b) Tính góc giữa đường thẳng với .

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:.

a) Dễ thấy nên .

Gọi là trung điểm của thì ta có

Kẻ thì nên .

Kẻ cắt tại , khi đó ta có nên do đó .

Từ ta có .

Khi thì trong tam giác vuông có .

.

b) .

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , . Góc giữa đường thẳng với các mặt phẳng và lần lượt là và .

a) Tính

A. B.

C. D.

b) Tính

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:.

a) Do

Tương tự

.

b)

.

Câu 25: Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Gọi là trực tâm của tứ diện. Gọi là ba góc tương ứng của tam giác .

Đặt . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:.

( HS tự giải)

Câu 26: Cho tứ diện có . Hình chiếu của trên mặt phẳng là trực tâm tam giác .

a) Tính.

A. B. C. D.

b)Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:.

a) Vì

Tương tự ta có , vì vậy

.

Từ suy ra ha .

b) Từ câu a) ta thấy tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc.

Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có

Mà nên .

Đẳng thức xảy ra khi đều, kết hợp với chân đường cao của trùng với tâm đáy ta được là hình chóp đều đỉnh .

Câu 27: Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc. là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác .

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. B. C. D.

b) Gọi là trực tâm tam giác và lần lượt là góc gữa đường thẳng với các đường thẳng . Tìm giá trị lớn nhất của

A. B. C. D.

c) Tìm GTNN của

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:.

a) Gọi , kẻ thì ta có

kẻ . Khi đó

Suy ra .

Tương tự gọi là các điểm tương tự như thì ta có

Từ ta có

Gọi là trực tâm của tam giác thì ta đã biết kết quả quen thuộc

nên

Mặt khác

Tương tự nên

Do đó do .

Vậy khi .

Cách 2. Đặt . Do đồng phẳng nên tồn tại sao cho .

Ta có , bình phương vô hướng ta được .

Tương tự

Vì vậy

( Theo Cauchy-Schwarz)

Vậy .

b) Dễ thấy .

Ta có

.

Lại có

Áp dụng CT (*) cho nhận các giá trị và kết hợp với thu được

.

Đặt thì bài toán trỏ thành

Cho thỏa . Chứng minh .

Ta có

.

Tương tự ta có :

và

Nhân theo từng vế các BĐT ta được .

c) Tương tự như câu b) ta có .