Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Bài sau

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

1. Định lí

Với các số $a$ và $b$ không âm ta có:
$\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt {b}$
Lưu ý. Với hai biểu thức không âm $A$ và $B$ , ta cũng có: $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B$

Chú ý: Nếu không có điều kiện $a$ và $b$ không âm thì không được viết đẳng thức $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Ví dụ:

$\sqrt{\left( -9 \right).\left( -4 \right)}=\sqrt{\left( -9 \right)}.\sqrt{\left( -4 \right)}$ : cách viết sai

Cách viết đúng: $\sqrt{(-9)(-4)}=\sqrt{9.4}=\sqrt{9}.\sqrt{4}$

2. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
Nói cách khác, với các số $a, b,…c$ không âm ta có:
$\sqrt {a.b.c} = \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\sqrt {12.3.50.18} = \sqrt {4.3.3.25.2.2.9} \\ = \sqrt {{{4.3}^2}{{.5}^2}{{.2}^2}{{.3}^2}} = \sqrt 4 .\sqrt {{3^2}} .\sqrt {{5^2}} .\sqrt {{2^2}} .\sqrt {{3^2}} \\ = 2.3.5.2.3\\ = 180\end{array}$

3. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Nói cách khác, với các số $a, b,c$ không âm ta có:
$\sqrt a .\sqrt b .\sqrt c = \sqrt {a.b.c}$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\sqrt 6 .\sqrt {32} .\sqrt {75} = \sqrt {6.32.75} \\ = \sqrt {3.2.2.16.3.25} \\ = \sqrt {{3^2}{{.2}^2}{{.4}^2}{{.5}^2}} \\ = 2.3.4.5 = 120\end{array}$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho $A=\sqrt{60}.\sqrt{45}.\sqrt{75}$

Áp dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai ta được kết quả

A
$450$
B
$350$
C
$520$
D
$150$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} A=\sqrt{60}.\sqrt{45}.\sqrt{75}=\sqrt{60.45.75}=\sqrt{\left( 15.4 \right).\left( 15.3 \right).\left( 25.3 \right)} \\ A=\sqrt{{{15}^{2}}{{.2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 15.2.3.5 \right)}^{2}}}=15.2.3.5=450 \end{array}$

Câu 2: Kết quả của phép tính $\sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}$ là

A
$18$ .
B
$36$ .
C
$6$ .
D
$9$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}=\sqrt{2,5.14,4}=\sqrt{36}=\sqrt{{{6}^{2}}}=6$ .

Câu 3: Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x-2}.\sqrt{{{x}^{2}}+3x-10}}{x-2}$ ta được

A
$\sqrt{5-x}$
B
$-\sqrt{x-5}$
C
$\sqrt{x+5}$
D
$-\sqrt{5-x}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có đkxđ $\left\{ \begin{array}{l} x-2 > 0 \\ {{x}^{2}}+3x-10\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2 > 0 \\ \left( x+5 \right)\left( x-2 \right)\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ \left[ \begin{array}{l} x\ge 2 \\ x\le -5 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow x > 2$

Khi đó

$\begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {{x^2} + 3x - 10} }}{{x - 2}}}\\ { = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)} }}{{x - 2}}}\\ { = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 5} }}{{x - 2}} = \sqrt {x + 5} } \end{array}$

Câu 4: Rút gọn biểu thức $\sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}$ với $x > 3$ ta được

A
$0,3(x-3)$ .
B
$0,3(3-x)$ .
C
$0,9(x-3)$ .
D
$0,1(x-3)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}=\sqrt{0,09.{{(3-x)}^{2}}}=\sqrt{0,09}.\sqrt{{{(3-x)}^{2}}}=0,3.|3-x|$

Mà $x > 3\Rightarrow 3-x < 0\Leftrightarrow |3-x|=x-3$

Nên $\sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}=0,3.(x-3)$ .

Câu 5: Kết quả của phép tính $\sqrt{1,25}.\sqrt{51,2}$ là

A
$32$ .
B
$16$ .
C
$8$ .
D
$64$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt{1,25}.\sqrt{51,2}=\sqrt{1,25.51,2}=\sqrt{64}=\sqrt{{{8}^{2}}}=8$ .

Câu 6: Cho $A=\sqrt{45.80},B=\sqrt{75.48}$

Áp dụng quy tắc khai phương của 1 tích ta được

A
$A=B$
B
$A+1=B$
C
$2A=B$
D
$A-2=B$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} A=\sqrt{45.80}=\sqrt{9.5}.\sqrt{16.5}=\sqrt{9}.\sqrt{5}.\sqrt{16}.\sqrt{5}=3.5.4=60 \\ B=\sqrt{75.48}=\sqrt{3.5.5.3.16}=3.5.4=60 \end{array}$

Khi đó $A=B$

Câu 7: Số nghiệm phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{5}$ là

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-4\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge 4\Leftrightarrow \left| x \right|\ge 2\Leftrightarrow x < -2;x > 2$

Khi đó ta có, $\sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 3$ đều thỏa mãn

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 8: Không dùng máy tính, chọn khẳng định đúng

A
$\sqrt{2003}+\sqrt{2005} < 2\sqrt{2004}$
B
$\sqrt{2003}+\sqrt{2005} > 2\sqrt{2004}$
C
$2\sqrt{2005}-\sqrt{2003}=2\sqrt{2004}$
D
$2\sqrt{2005}+\sqrt{2003}=3\sqrt{2004}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} {{\left( \sqrt{2003}+\sqrt{2005} \right)}^{2}}=4008+2\sqrt{2003}.\sqrt{2005}=4008+2\sqrt{2003.2005} \\ {{\left( 2\sqrt{2004} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2004}+\sqrt{2004} \right)}^{2}}=4008+2\sqrt{2004.2004} \\ 2003.2005=\left( 2004-1 \right)\left( 2004+1 \right)={{2004}^{2}}-1 < {{2004}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{2003}+\sqrt{2005} < 2\sqrt{2004} \end{array}$

Câu 9: Rút gọn biểu thức $\sqrt{{{a}^{4}}.{{(2a-1)}^{2}}}$ với $a\ge \dfrac{1}{2}$ ta được

A
$(2a-1){{a}^{2}}$ .
B
$a(2a-1)$ .
C
$(1-2a){{a}^{2}}$ .
D
$(1-2a)a$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt{{{a}^{4}}.{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{4}}}.\sqrt{{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}}.\sqrt{{{(2a-1)}^{2}}}=\mid {{a}^{2}}\mid .|2a-1|={{a}^{2}}.\left| 2a-1 \right|={{a}^{2}}.\left( 2a-1 \right)$

(vì $a\ge \dfrac{1}{2}\Rightarrow 2a-1\ge 0$ $\Rightarrow \left| 2a-1 \right|=2a-1$ .

Câu 10: Nghiệm của phương trình $\sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4$ là

A
$x=5$ .
B
$x=9$ .
C
$x=8$ .
D
$x=-9$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện

$\left\{ \begin{array}{l} 4x-20\ge 0 \\ x-5\ge 0 \\ 9x-45\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-5\ge 0 \\ 4(x-5)\ge 0 \\ 9(x-5)\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge 5$

Với điều kiện trên ta có

$\sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4\Leftrightarrow \sqrt{4(x-5)}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9(x-5)}=4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{4}.\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.\sqrt{9}.\sqrt{x-5}=4\Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.3.\sqrt{x-5}=4 \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}=4\Leftrightarrow \sqrt{x-5}=2\Leftrightarrow x-5={{2}^{2}}\Leftrightarrow x-5=4\Leftrightarrow x=9(TM) \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=9$ .

Câu 11: Rút gọn biểu thức $\sqrt{{{a}^{2}}.{{(2a-3)}^{2}}}$ với $0\le a < \dfrac{3}{2}$ ta được

A
$(2a-3){{a}^{2}}$ .
B
$(3-2a){{a}^{2}}$ .
C
$(3-2a)a$ .
D
$a(2a-3)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt{{{a}^{2}}.{{(2a-3)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}.\sqrt{{{(2a-3)}^{2}}}=|a|.|2a-3|=a.(3-2a)$

( vì $0\le a < \dfrac{3}{2}\Rightarrow 2a-3\le 0\Rightarrow \left| 2a-3 \right|=3-2a$ )

Câu 12: Nghiệm phương trình $\sqrt{4-2x}=3$ là

A
$\dfrac{5}{2}$
B
$\dfrac{-5}{2}$
C
$\dfrac{3}{2}$
D
$\dfrac{7}{2}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện xác định: $4-2x\ge 0\Leftrightarrow x\le 2$

Khi đó ta có, $\sqrt {4 - 2x} = 3 \Leftrightarrow 4 - 2x = 9 \Leftrightarrow - 2x = 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$ thỏa mãn

Câu 13: Phép tính $\sqrt{{{12}^{2}}.{{(-11)}^{2}}}$ có kết quả là

A
Không tồn tại.
B
$-132$ .
C
$-33$ .
D
$132$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt{{{12}^{2}}.{{(-11)}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}}.\sqrt{{{(-11)}^{2}}}=|12|.|-11|=12.11=132$ .

Câu 14: Rút gọn biểu thức $\dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}}$ với $x > 0$ ta được

A
$\sqrt{x+2}$ .
B
$-x$ .
C
$x$ .
D
$\sqrt{x}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}}$ $=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}(x+2)}}{\sqrt{x+2}}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}}.\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+}2}=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|$ mà $x > 0$ nên $\left| x \right|=x$

Từ đó $\dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}}=x$ .

Câu 15: Giá trị của biểu thức $A=3\sqrt{27}-\sqrt{12}$ bằng:

A
$\sqrt{3}$ .
B
$2\sqrt{15}$ .
C
$11\sqrt{3}$ .
D
$7\sqrt{3}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $A=3\sqrt{27}-\sqrt{12}=9\sqrt{3}-2\sqrt{3}=7\sqrt{3}$ .

Câu 16: Giá trị của biểu thức $\sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448}$ là

A
$4\sqrt{7}$ .
B
$5\sqrt{7}$ .
C
$\sqrt{7}$ .
D
$0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448}=\sqrt{36.7}-\sqrt{100.7}+\sqrt{144.7}-\sqrt{64.7}$

$=6\sqrt{7}-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}-8\sqrt{7}=\sqrt{7}(6-10+12-8)=0$ .

Câu 17: Nghiệm của phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}-3}=5$ là

A
$\pm \sqrt{14}$
B
$14$
C
$7$
D
$\pm 2\sqrt{7}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện xác định: $2{{x}^{2}}-3\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left| x \right|\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Khi đó ta có, $\sqrt{2{{x}^{2}}-3}=5\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3=25\Leftrightarrow {{x}^{2}}=14\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{14}$ đều thỏa mãn

Vậy $x=\pm \sqrt{14}$ là nghiệm

Câu 18: Giá trị biểu thức $\sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}$ khi $x=\sqrt{29}$ là

A
$5$ .
B
$10$ .
C
$29$ .
D
$25$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}=\sqrt{{{x}^{2}}-4}$ với $x\ge 2$

Thay $x=\sqrt{29}$ (TMĐK)

Vào biểu thức ta được $\sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{{{\left( \sqrt{29} \right)}^{2}}-4}$ $=\sqrt{25}=5$ .

Câu 19: Tổng giá trị của x thỏa mãn $\sqrt{x}\sqrt{x-3}=2$ là

A
$6$
B
$3$
C
$4$
D
$5$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

ĐKXĐ: $x\ge 3$ , khi đó ta có

$\begin{array}{l} \sqrt{x}\sqrt{x-3}=2\Leftrightarrow x\left( x-3 \right)=4 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0 \\ \Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( x-4 \right)=0 \\ \Leftrightarrow x=-1;x=4 \end{array}$

Vậy chỉ có

$x=4$ thỏa mãn

Câu 20: Với $a > b$ , biểu thức $\dfrac{1}{a-b}\sqrt{{{3}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}}$ có kết quả rút gọn là:

A
$-3$ .
B
$\sqrt{3}$ .
C
$3$ .
D
$-\sqrt{3}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$M=\dfrac{1}{a-b}\sqrt{{{3}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}}=3\dfrac{\left| a-b \right|}{a-b}$ . Vì $a > b\Rightarrow \left| a-b \right|=a-b$ .
$M=3.$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Lý thuyết về Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

1. Định lí

2. Quy tắc khai phương một tích

3. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho A=√60.√45.√75 A=\sqrt{60}.\sqrt{45}.\sqrt{75} Áp dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai ta được kết quả

Câu 2: Kết quả của phép tính √2,5.√14,4 \sqrt{2,5}.\sqrt{14,4} là

Câu 3: Rút gọn biểu thức A=√x−2.√x2+3x−10x−2 A=\dfrac{\sqrt{x-2}.\sqrt{{{x}^{2}}+3x-10}}{x-2} ta được

Câu 4: Rút gọn biểu thức √0,9.0,1.(3−x)2 \sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}} với x>3 x > 3 ta được

Câu 5: Kết quả của phép tính √1,25.√51,2 \sqrt{1,25}.\sqrt{51,2} là

Câu 6: Cho A=√45.80,B=√75.48 A=\sqrt{45.80},B=\sqrt{75.48} Áp dụng quy tắc khai phương của 1 tích ta được

Câu 7: Số nghiệm phương trình √x2−4=√5 \sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{5} là

Câu 8: Không dùng máy tính, chọn khẳng định đúng

Câu 9: Rút gọn biểu thức √a4.(2a−1)2 \sqrt{{{a}^{4}}.{{(2a-1)}^{2}}} với a≥12 a\ge \dfrac{1}{2} ta được

Câu 10: Nghiệm của phương trình √4x−20+√x−5−13√9x−45=4 \sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4 là

Câu 11: Rút gọn biểu thức √a2.(2a−3)2 \sqrt{{{a}^{2}}.{{(2a-3)}^{2}}} với 0≤a<32 0\le a < \dfrac{3}{2} ta được

Câu 12: Nghiệm phương trình √4−2x=3 \sqrt{4-2x}=3 là

Câu 13: Phép tính √122.(−11)2 \sqrt{{{12}^{2}}.{{(-11)}^{2}}} có kết quả là

Câu 14: Rút gọn biểu thức √x3+2x2√x+2 \dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}} với x>0 x > 0 ta được

Câu 15: Giá trị của biểu thức A=3√27−√12 A=3\sqrt{27}-\sqrt{12} bằng:

Câu 16: Giá trị của biểu thức √252−√700+√1008−√448 \sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448} là

Câu 17: Nghiệm của phương trình √2x2−3=5 \sqrt{2{{x}^{2}}-3}=5 là

Câu 18: Giá trị biểu thức √x−2.√x+2 \sqrt{x-2}.\sqrt{x+2} khi x=√29 x=\sqrt{29} là

Câu 19: Tổng giá trị của x thỏa mãn √x√x−3=2 \sqrt{x}\sqrt{x-3}=2 là

Câu 20: Với a>b a > b , biểu thức 1a−b√32(a−b)2 \dfrac{1}{a-b}\sqrt{{{3}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}} có kết quả rút gọn là:

Câu 1: Cho $A=\sqrt{60}.\sqrt{45}.\sqrt{75}$

Áp dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai ta được kết quả

Câu 2: Kết quả của phép tính $\sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}$ là

Câu 3: Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x-2}.\sqrt{{{x}^{2}}+3x-10}}{x-2}$ ta được

Câu 4: Rút gọn biểu thức $\sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}$ với $x > 3$ ta được

Câu 5: Kết quả của phép tính $\sqrt{1,25}.\sqrt{51,2}$ là

Câu 6: Cho $A=\sqrt{45.80},B=\sqrt{75.48}$

Áp dụng quy tắc khai phương của 1 tích ta được

Câu 7: Số nghiệm phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{5}$ là

Câu 9: Rút gọn biểu thức $\sqrt{{{a}^{4}}.{{(2a-1)}^{2}}}$ với $a\ge \dfrac{1}{2}$ ta được

Câu 10: Nghiệm của phương trình $\sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4$ là

Câu 11: Rút gọn biểu thức $\sqrt{{{a}^{2}}.{{(2a-3)}^{2}}}$ với $0\le a < \dfrac{3}{2}$ ta được

Câu 12: Nghiệm phương trình $\sqrt{4-2x}=3$ là

Câu 13: Phép tính $\sqrt{{{12}^{2}}.{{(-11)}^{2}}}$ có kết quả là

Câu 14: Rút gọn biểu thức $\dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}}$ với $x > 0$ ta được

Câu 15: Giá trị của biểu thức $A=3\sqrt{27}-\sqrt{12}$ bằng:

Câu 16: Giá trị của biểu thức $\sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448}$ là

Câu 17: Nghiệm của phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}-3}=5$ là

Câu 18: Giá trị biểu thức $\sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}$ khi $x=\sqrt{29}$ là

Câu 19: Tổng giá trị của x thỏa mãn $\sqrt{x}\sqrt{x-3}=2$ là

Câu 20: Với $a > b$ , biểu thức $\dfrac{1}{a-b}\sqrt{{{3}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}}$ có kết quả rút gọn là: