Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây trong đường tròn

Xét đường tròn tâm $(O)$ .

Kẻ $OE\bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$ , kẻ $OF\bot CD$ tại $F$ suy ra $F$ là trung điểm của $CD$ .

Xét tứ giác $OEMF$ có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}=90{}^\circ$ nên $OEIF$ là hình chữ nhật, suy ra $FM=OE$ .

Ta có $CD=12cm\Rightarrow FC=6cm$ mà $MC=2cm\Rightarrow FM=FC-MC=4cm$ nên $OE=4cm$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $4\,cm$ .

Xét đường tròn $(O;OB)$

Kẻ $OE\bot CD;OF\bot AB$ tại $E,F$ mà $CD < AB\Rightarrow OE > OF$ (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

Xét đường tròn $(O;OK)$ có $OE\bot KN;OF\bot KM$ tại $E,F$ mà $OE=OF\Rightarrow KN=KM$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

TH1: $AB$ và $CD$ khác phía với $O$

Hạ $OH\bot AB;OK\bot CD$

Ta có $OH=15\Rightarrow OK=7\Rightarrow CD=2KD=2\sqrt{{{25}^{2}}-{{7}^{2}}}=48$

TH2: $AB$ và $CD$ cùng phía với $O$ (loại vì khi đó $OK=37\text{ } > 22$

Trong tam giác $ACD$ , ta có :

B là trung điểm của $AC\left( gt \right);O$ là trung điểm của $CD$

Nên $OB$ là đường trung bình của $\Delta ACD$ .

Suy ra : $OB=\dfrac{1}{2}AD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy $AD=2.OB=2.3=6\left( cm \right)$

Gọi C là tiếp điểm của $EF$ với đường tròn (O), H là giao điểm của OC và AB.

Ta có $OC\bot EF$ và $AB//EF$ nên $OC\bot AB$

Ta tính được HB = 12 cm nên OH = 9 cm.

Ta có tam giác $\Delta OAB\sim \Delta OEF\Rightarrow \dfrac{OH}{OC}=\dfrac{AB}{EF}\Rightarrow EF=40cm$

Kẻ $BE\bot CD$

Suy ra tứ giác $ABED$ là hình chữ nhật

Ta có: $AD=BE$ ; $AB=DE=4\left( cm \right)$

Suy ra: $CE=CD-DE=9-4=5\left( cm \right)$

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông $BCE$ ta có :

$B{{C}^{2}}=B{{E}^{2}}+C{{E}^{2}}$ $\Rightarrow B{{E}^{2}}=B{{C}^{2}}-C{{E}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=144$

$\Rightarrow BE=12\left( cm \right)$

Vậy: $AD=12\left( cm \right)$

Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AC$ tại $E$ và cắt $BD$ tại $F$ thì $EF\bot BD$ tại $F$ vì $AC\text{//}BD$ .

Xét hai tam giác vuông $OEA$ và tam giác $OFB$ có $\widehat{AEO}=\widehat{OFC}=90{}^\circ ;\widehat{AOE}=\widehat{FOC}$ (đối đỉnh)

Nên $\Delta AEO\sim \Delta CFO$ (g - g) $\Rightarrow \dfrac{OE}{OF}=\dfrac{OA}{OC}$ mà $OA=OB=2.OC\Rightarrow \dfrac{OE}{OF}=\dfrac{OA}{OC}=2\Rightarrow OE=2OF$

Hay $OE > OF$ suy ra $AD < MN$ (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn).

Kẻ $OH\bot AB,H\in AB$

Dễ thấy $\Delta OAB$ cân tại O.

Do đó, OH vừa là đường cao, trung tuyến của tam giác

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow HA=HB=3\ cm.$

$O{{H}^{2}}=O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}={{4}^{2}}.$ Do đó $OH=4\text{ }cm$

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$

Suy ra $OH\bot CD;OK\bot AB$ và $OH=9cm;\text{ }OK=10cm.$

Tam giác OHC vuông tại H nên $O{{C}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225\Rightarrow O{{A}^{2}}=O{{C}^{2}}=225$ .

Tam giác OAK vuông tại K nên $A{{K}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{K}^{2}}=225-{{10}^{2}}=125\Rightarrow AK=5\sqrt{5}(cm).$

Vậy $AB=2AK=10\sqrt{5}(cm)$ .

Ta có O luôn cách AB 1 khoảng cách bằng bán kính tức bằng 2cm

Khi đó tập hợp các tâm O thỏa mãn là 2 đường thẳng song song với AB và cách AB 1 khoảng bằng 2cm

$ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD=BC$ .

$DC$ là đường chéo hcn nên $DC=AB\Rightarrow DC$ là đường kính $\left( O \right)$

Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $CD$ tại $E$ và cắt $AB$ tại $F$ thì $EF\bot AB$ vì $AB\text{//}CD$ .

Khi đó $E$ là trung điểm của $CD$ và $F$ là trung điểm của $AB$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó)

Nên $ED=6cm;FB=8cm;OD=OB=10cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OED$ ta được $OE=\sqrt{O{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}=8cm$ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OFB$ ta được $OF=\sqrt{O{{B}^{2}}-F{{B}^{2}}}=6cm$ .

Vậy khoảng cách giữa hai dây là $EF=OE+OF=14cm$ .

Vẽ đường kính có $AE=8cm$ .

Điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $AE$ $\Rightarrow \widehat{ABE}={{90}^{0}}$ .

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ABE$ có

$\widehat{DAC}$ (chung),

$\widehat{ADC}=\widehat{ABE}\left( ={{90}^{0}} \right)$ ,

do đó $\Delta ADC\sim \Delta ABE$ $\Rightarrow \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AE}\Rightarrow AD=\dfrac{AC.AB}{AE}$ . Mà $AC=2cm,AB=5cm,AE=8cm$ , nên $AD=\dfrac{2.5}{8}=\dfrac{5}{4}\left( cm \right)$ .

Kẻ $OE$ vuông góc $CD$ nên $E$ là trung điểm của đoạn $CD\Rightarrow CE=ED=\dfrac{CD}{2}=9\,\,cm$ .

Xét $\Delta COE$ vuông tại E ta có $O{{C}^{2}}=C{{E}^{2}}+E{{O}^{2}}$ ( theo định lí pytago) $\Rightarrow OE=\sqrt{O{{C}^{2}}-C{{E}^{2}}}=\sqrt{{{11}^{2}}-{{9}^{2}}}=2\sqrt{10}$ .

Tương tự áp dụng định lí pytago trong $\Delta MOE$ vuông tại E ta được $ME=\sqrt{M{{O}^{2}}-E{{O}^{2}}}=\sqrt{{{7}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{10} \right)}^{2}}}=3$ .

Mà $EC=MC+ME\Rightarrow MC=ECME=9-3=6\,\,\Rightarrow MD=CD-MC=18-6=12\,\,cm$ .

Xét tam giác vuông $AOM$ có $OA=AM=3cm\Rightarrow OM=3\sqrt{2}cm$

Vậy điểm M chuyển động trên đường tròn $\left( O;3\sqrt{2}cm \right)$

Kẻ $AH\bot xy$ , ta có: $AH=12cm$

Bán kính đường tròn tâm $A$ là $R=13cm$ . Mà $AH=d=12cm$ $\Rightarrow d < R$

Vậy $\left( A;13cm \right)$ cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AHC ta có:

$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}$ $\Rightarrow H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{13}^{2}}-{{12}^{2}}=25\Rightarrow HC=5\left( cm \right)$

Ta có: $BC=2.HC=2.5=10\left( cm \right)$

Vẽ $OH\bot AB\left( H\in AB \right)$ , $OK\bot CD\left( K\in CD \right)$ .

Ta có $AB=CD$ (gt), nên $OH=OK$ (định lý liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm) và $H,K$

lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ (định lý đường kính vuông góc dây cung) $\Rightarrow AH=CK$ .

Xét $\Delta OHM$ $\left( \widehat{OHM}={{90}^{0}} \right)$ có $OM$ (cạnh chung) và $OH=OK$ , do đó $\Delta OHM=\Delta OKM$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông) $\Rightarrow MH=MK$ . Ta có $MH-AH=MK-CK\Rightarrow MA=MC$ .

Xét đường tròn tâm $(O)$ .

Kẻ $OE\bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$ , kẻ $OF\bot CD$ tại $F$ suy ra $F$ là trung điểm của $CD$ .

Xét tứ giác $OEMF$ có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}=90{}^\circ$ nên $OEIF$ là hình chữ nhật, suy ra $FM=OE$ .

Ta có $CD=8\,cm\Rightarrow FC=4\,cm$ mà $MC=1\,cm\Rightarrow FM=FC-MC=4-1=3\,cm$ nên $OE=FM=3\,cm$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3\,cm$ .

Từ $O$ kẻ $OE\bot AB=E,OF\bot CD=F$ .

mà $AB\text{//}CD$ nên $O,F,E$ thẳng hàng.

+) Xét tam giác OAE vuông tại E, theo định lý Pytago ta có:

$O{{E}^{2}}=O{{A}^{2}}-A{{E}^{2}}={{50}^{2}}-{{40}^{2}}={{30}^{2}}\Rightarrow OE=30$

+)Xét tam giác $OCF$ vuông tại F, theo định lý Pytago ta có $O{{F}^{2}}=O{{C}^{2}}-C{{F}^{2}}={{50}^{2}}-{{48}^{2}}={{14}^{2}}\Rightarrow OF=14(cm).$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $EF=OE-OF=30-14=16\left( cm \right)$

Xét đường tròn $(O;OB)$

Kẻ $OE\bot CD;OF\bot AB$ tại $E,F$ mà $CD < AB\Rightarrow OE > OF$ (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)

Xét đường tròn $(O;OK)$ có $OE\bot KN;OF\bot KM$ tại $E,F$ mà $OE > OF\Rightarrow KN < KM$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)