Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+my=-1 \\ mx+y=1 \end{array} \right.$ vô nghiệm thì $\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{1}\ne \dfrac{-1}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=\pm 1 \\ m\ne -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1$ .

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right.$

+, Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'}$

+, Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'}$

+, Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$ .

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Thay $\left( 2;1 \right)$ vào các phương án ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} -2.2+3.1=-1 \\ -2+3.1=1 \end{array} \right.$ (đúng) mà $\dfrac{-2}{-1}\ne \dfrac{3}{3}$ nên hệ $\left\{ \begin{array}{l} -2x+3y=-1 \\ -x+3y=1 \end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất là $\left( 2;1 \right)$ hay tương đương với hệ trên.

$\left\{ \begin{array}{l} 2-2.1=0 \\ 2+1=-3 \end{array} \right.$ (vô lý) nên $\left( 2;1 \right)$ không phải nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} x-2y=0 \\ x+y=-3 \end{array} \right.$ .

$\left\{ \begin{array}{l} -2+3.1=3 \\ 3.2-4.1=2 \end{array} \right.$ (vô lý) nên $\left( 2;1 \right)$ không phải nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} -x+3y=3 \\ 3x-4y=2 \end{array} \right.$ .

$\left\{ \begin{array}{l} 2.2+2.1=6 \\ 2+1=3 \end{array} \right.$ (đúng) nên $\left( 2;1 \right)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} 2x+2y=6 \\ x+y=3 \end{array} \right.$ . Nhưng chú ý rằng $\dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{6}{3}$ nên hệ này có vô số nghiệm, nên không tương đương với hệ trên.

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ mx+y=2m \end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{m}{1}\ne \dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m\ne 1$ .

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} mx-y=1 \\ x-my={{m}^{2}} \end{array} \right.$ có vô số nghiệm thì $\dfrac{m}{1}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}}=1$ .

Vậy có 1 giá trị của m để hệ phương trình vô số nghiệm.

Ta có $\dfrac{3}{-6}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{4}{-8}$ nên $\left\{ \begin{array}{l} 3\text{x}-2y=4 \\ -6\text{x}+4y=-8 \end{array} \right.$ có vô số nghiệm.

Ta có $\dfrac{0}{3}\ne \dfrac{4}{-2}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Thay $x=-2;y=-3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=3 \\ 2x+y=4 \end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2-(-3)=1\ne 3 \\ 2.(-2)-3=-7\ne 4 \end{array} \right.$ nên loại.

Thay $x=-2;y=-3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=8 \end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7\ne 8 \end{array} \right.$ nên loại.

Thay $x=-2;y=-3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-2y=0 \\ x-3y=5 \end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4.(-2)-2.(-3)=-2\ne 0 \\ -2-3.(-3)=7\ne 5 \end{array} \right.$ nên loại.

Thay $x=-2;y=-3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=-1 \\ 7=7 \end{array} \right.$ Đúng.

Vậy $\left( -2;-3 \right)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right.$

Ta có $\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{-2}{-6}\ne \dfrac{3}{-7}$ nên $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2}x-2y=3 \\ 3\sqrt{2}x-6y=-7 \end{array} \right.$ vô nghiệm.

Hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} mx-2y=1 \\ 2x-my=2{{m}^{2}} \end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \dfrac{m}{2}\ne \dfrac{-2}{-m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ne 4\Leftrightarrow m\ne \pm 2$ .

Vì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} & \left( {{m}^{2}}-1 \right)x+y=4 \\ & m\text{x-}y=1 \\ \end{array} \right.$ có nghiệm $\left( x\,;y \right)=\left( 1\,;1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & \left( {{m}^{2}}-1 \right).1+1=4 \\ & m.1\text{-1}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & {{m}^{2}}=4 \\ & m=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & m=\pm 2 \\ & m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m=2$ .

Thay lần lượt từng cặp nghiệm vào hệ ta có cặp (x;y) = (-4; 5) là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x-2y=-12 \\ x+\dfrac{1}{3}y=-\dfrac{7}{3} \end{array} \right.$ .

Ta có $\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$ nên hệ có vô số nghiệm.

Thay các đáp án để kiểm tra.

Với cặp $\left( 21;-15 \right)$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.21+3.15=3 \\ -4.21+5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -3=3 \\ -9=9 \end{array} \right.$ (vô lý) nên $\left( 21;-15 \right)$ không phải nghiệm của hệ.

Với cặp $\left( -21;15 \right)$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-21)+3.15=3 \\ -4.(-21)-5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3=3 \\ 9=9 \end{array} \right.$ (đúng) nên $\left( -21;15 \right)$ là nghiệm của hệ.

Với cặp $\left( 1;1 \right)$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.1=3 \\ -4.1-5.1=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5=3 \\ -9=9 \end{array} \right.$ (vô lý) nên $\left( 1;1 \right)$ không phải nghiệm của hệ.

Với cặp $\left( 1;-1 \right)$ ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.(-1)=3 \\ -4.1-5.(-1)=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=3 \\ 1=9 \end{array} \right.$ (vô lý) nên $\left( 1;-1 \right)$ không phải nghiệm của hệ.

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}\ne \dfrac{3}{1}$ nên hệ vô nghiệm.

Hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=-1 \\ mx+y=2m \end{array} \right.$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\dfrac{m}{1}=\dfrac{1}{1}\ne \dfrac{2m}{-1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=1 \\ m\ne -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1$

Thay cặp số (-4; 5) vào hệ phương trình ta có cặp số thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=-3 \\ -3x-2y=2 \end{array} \right.$ nên (-4; 5) là nghiệm của hệ.