Căn bậc ba
Lý thuyết về Căn bậc ba
1. Định nghĩa căn bậc ba
Căn bậc ba của một số $a$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$
Căn bậc ba của số $a$ được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$
Như vậy ${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = a$
Mọi số thực đều có căn thức bậc ba.
2. Tính chất của căn bậc ba
a) Nếu $a < b$ thì $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$
b) $\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$
c) Với $b ≠ 0$ thì $\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}$
3. Ví dụ
a. Thực hiện phép tính $A = \sqrt [ 3 ] { 2 + \sqrt { 5 } } + \sqrt [ 3 ] { 2 - \sqrt { 5 } }$
Ta có:
$\begin{array}{l}2 + \sqrt 5 = \dfrac{{16 + 8\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 }}{8} = {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^3}\\2 - \sqrt 5 = \dfrac{{16 - 8\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 }}{8} = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^3}\end{array}$
$ \Rightarrow A = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} = 1$
b. Giải phương trình $\sqrt [ 3 ] { 2 - 3 x } = - 2$
Ta có $\sqrt [ 3 ] { 2 - 3 x } = - 2 \Leftrightarrow 2 - 3 x = - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac { 10 } { 3 }$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho $ A=2\sqrt[3]{3} $ và $ B=\sqrt[3]{25} $ . Chọn khẳng định đúng
- A
- B
- C
- D
$ A=2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{8}.\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{24} $
Vì $ 24 < 25\Leftrightarrow \sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{25}\Rightarrow 2\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{25} $ hay $ A < B $ .
Câu 2: Cho $ A=3\sqrt[3]{2} $ và $ B=\sqrt[3]{42} $ . Chọn khẳng định đúng.
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ A=3\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{54} $
Vì $ 54 > 42\Leftrightarrow \sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{42}\Rightarrow 3\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{42} $ hay $ A > B $
Câu 3: Rút gọn biểu thức $ 2\sqrt[3]{27{{a}^{3}}}-3\sqrt[3]{8{{a}^{3}}}+4\sqrt[3]{125{{a}^{3}}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
$ 2\sqrt[3]{27{{a}^{3}}}-3\sqrt[3]{8{{a}^{3}}}+4\sqrt[3]{125{{a}^{3}}} $ $ =2\sqrt[3]{{{(3a)}^{3}}}-3\sqrt[3]{{{(2a)}^{3}}}+4\sqrt[3]{{{(5a)}^{3}}} $ $ =2.3a-3.2a+4.5a=20a $ .
Câu 4: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình $ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}}=x+2 $ .
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}={{(x+2)}^{3}} $
$ \Leftrightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8\Leftrightarrow 12x+8=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3} $
Vậy nghiệm của phương trình là phân số.
Câu 5: Rút gọn biểu thức $ \sqrt[3]{\dfrac{-27}{512}{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{64{{a}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{1000{{a}^{3}}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{\dfrac{-27}{512}{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{64{{a}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{1000{{a}^{3}}} $ $ =\sqrt[3]{{{\left( -\dfrac{3}{8}a \right)}^{3}}}+\sqrt[3]{{{\left( 4a \right)}^{3}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{{{\left( 10a \right)}^{3}}} $
$ =\dfrac{-3}{8}a+4a-\dfrac{10}{3}a=\dfrac{7a}{24} $ .
Câu 6: Rút gọn biểu thức $ A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} $
Suy ra: $ {{A}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right)}^{3}} $
$ ={{\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}} \right)}^{3}}+{{\left( \sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right)}^{3}}+3\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}.\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right) $ $ =9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3.\sqrt[3]{\left( 9+4\sqrt{5} \right)\left( 9-4\sqrt{5} \right)}.A $ (vì $ A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} $ )
$ =18+3\sqrt[3]{{{9}^{2}}-{{\left( 4\sqrt{5} \right)}^{2}}}.A $ $ =18+3A $
hay $ {{A}^{3}}=3A+18\Leftrightarrow {{A}^{3}}-3A-18=0 $ $ \Leftrightarrow {{A}^{3}}-27-3A+9=0 $
$ \Leftrightarrow (A-3)({{A}^{2}}+3A+9)-3(A-3)=0 $ $ \Leftrightarrow (A-3)({{A}^{2}}+3A+6)=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A-3=0 \\ {{A}^{2}}+3A+6=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=3 \\ {{\left( A+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{15}{4}=0(VN) \end{array} \right. $
Vậy $ A=3 $ .
Câu 7: Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $ \sqrt[3]{3-2x}\le {{4}^{3}} $ .
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{3-2x}\le 4\Leftrightarrow 3-2x\le {{4}^{3}} $ $ \Leftrightarrow 3-2x\le 64 $ $ \Leftrightarrow 2x\ge -61 $ $ \Leftrightarrow x\ge -\dfrac{61}{2} $
Nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $ -30 $ .
Câu 8: Tìm các cạnh của hình lập phương biết thể tích bằng $125 cm^3$.
- A
- B
- C
- D
Gọi cạnh của hình lập phương là $a (cm)$. Khi đó ta có thể tích của hình lập phương là:
$a^3 = 125 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{125} = 5 (cm)$.
Câu 9: Chọn khẳng định đúng, với $ a\ne 0 $ ta có $ \sqrt[3]{-\dfrac{1}{8{{a}^{3}}}} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{-\dfrac{1}{8{{a}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( -\dfrac{1}{2a} \right)}^{3}}}=-\dfrac{1}{2a} $ .
Câu 10: Thu gọn biểu thức $ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1}=\sqrt[3]{{{(x+1)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{(2x+1)}^{3}}} $
$ =x+1-2x-1=-x $ .
Câu 11: Tìm $ x $ biết $ \sqrt[3]{4-2x} > 4 $ .
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{4-2x} > 4\Leftrightarrow 4-2x > {{4}^{3}}\Leftrightarrow 4-2x > 64\Leftrightarrow 2x < -60\Leftrightarrow x < -30 $ .
Câu 12: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của phương trình $ \sqrt[3]{3x-2}=-2 $ .
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{3x-2}=-2\Leftrightarrow 3x-2={{(-2)}^{3}}\Leftrightarrow 3x-2=-8\Leftrightarrow 3x=-6\Leftrightarrow x=-2 $
Vậy nghiệm của phương trình là số nguyên âm.
Câu 13: Rút gọn biểu thức $ B=\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}-\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ B=\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}-\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38} $
$ =\sqrt[3]{{{2}^{3}}+{{3.2}^{2}}.\sqrt{5}+3.2.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5} \right)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{3}}-3.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}.2+3.\sqrt{5}{{.2}^{2}}-{{2}^{3}}} $
$ =\sqrt[3]{{{\left( 2+\sqrt{5} \right)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{3}}}=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4 $ .
Câu 14: Số nghiệm của phương trình $ \sqrt[3]{2x+1}=3 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{2x+1}=3\Leftrightarrow 2x+1={{3}^{3}}\Leftrightarrow 2x+1=27\Leftrightarrow 2x=26\Leftrightarrow x=13 $
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $ x=13. $
Câu 15: Thu gọn $ \sqrt[3]{-\dfrac{1}{27{{a}^{3}}}} $ với $ a\ne 0 $ ta được
- A
- B
- C
- D
$ \sqrt[3]{-\dfrac{1}{27{{a}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( -\dfrac{1}{3a} \right)}^{3}}}=-\dfrac{1}{3a} $ .
Câu 16: Thu gọn biểu thức $ \sqrt[3]{\dfrac{343{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{-125}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{\dfrac{343{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{-125}} $ $ =\sqrt[3]{{{\left( \dfrac{7a{{b}^{2}}}{-5} \right)}^{3}}}=-\dfrac{7a{{b}^{2}}}{5} $ .
Câu 17: Thu gọn biểu thức $ \sqrt[3]{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1}-\sqrt[3]{125{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+15x+1} $ ta được
- A
- B
- C
- D
$ \sqrt[3]{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1}-\sqrt[3]{125{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+15x+1} $
$ =\sqrt[3]{{{(x-1)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{(5x+1)}^{3}}}=x+1-5x-1=-4x. $
Câu 18: Rút gọn biểu thức $ \dfrac{\sqrt[3]{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \dfrac{\sqrt[3]{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}} $ $ =\sqrt[3]{\dfrac{-64{{a}^{5}}{{b}^{5}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=\sqrt[3]{-64{{a}^{3}}{{b}^{3}}}=\sqrt[3]{{{(-4ab)}^{3}}}=-4ab $ .
Câu 19: Tìm $ x $ biết $ \sqrt[3]{2x+1} > -3 $
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt[3]{2x+1} > -3\Leftrightarrow 2x+1 > {{(-3)}^{3}}\Leftrightarrow 2x+1 > -27\Leftrightarrow 2x > -28\Leftrightarrow x > -14 $ .