Các công thức tính nhanh cực trị hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^3 + cx + d$

Ta có: $y'={ x ^ 2 }-mx\Rightarrow y'\left( 2 \right)=4-2m=0\Leftrightarrow m=2$

Khi đó $y''\left( 2 \right)=2.2-2=2 > 0$ . Do vậy với $m=2$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ .

$y'={ x ^ 2 }+2mx+{ m ^ 2 }+2m$

Hàm số có 2 điểm cực trị khi

$\Delta ' > 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }-\left( { m ^ 2 }+2m \right) > 0\Leftrightarrow m < 0$

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng 1.

$y'=3{{ x }^ 2 }-6m x +3{ m ^ 2 }-3;\,\,y''=6 x -6m$

$\begin{gathered}   YCBT \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {}&{y'\left( 2 \right) = 0} \\    {}&{y''\left( 2 \right) < 0}  \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {}&{12 - 12m + 3{m^2} - 3 = 0} \\    {}&{12 - 6m < 0}  \end{array}} \right. \hfill \\    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {}&{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}   {}&{m = 1} \\    {}&{m = 3}  \end{array}} \right.} \\    {}&{m > 2}  \end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 3\ . \hfill \\  \end{gathered}$

$y'=\left( m+1 \right){ x ^ 2 }+4mx+3m+2$

Hàm số có cực đại cực tiểu khi

$\begin{array}{l} & \left\{ \begin{array}{l} & m\ne -1 \\ & \Delta ' > 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & m\ne -1 \\ & 4{ m ^ 2 }-\left( 3m+2 \right)\left( m+1 \right) > 0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & m\ne -1 \\ & { m ^ 2 }-5m-2 > 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & \left[ \begin{array}{l} & m < \dfrac{5-\sqrt{33}} 2 \\ & m > \dfrac{5+\sqrt{33}} 2 \\ \end{array} \right. \\ & m\ne -1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$y'=-3{ x ^ 2 }+4\left( m+1 \right)x+m;\,\,y''=-6x+4m+4$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\dfrac{4}{3}$

$\begin{array}{l} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & y'\left( \dfrac{4}{3} \right)=0 \\ & y''\left( \dfrac{4}{3} \right) > 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & -3.{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^ 2 }+4\left( m+1 \right).\dfrac{4}{3} +m=0 \\ & -6.\dfrac{4}{3} +4m+4 > 0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & \dfrac{19m} 3 =0 \\ & 4m-4 > 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & m=0 \\ & m > 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing \\ \end{array}$

Hàm bậc ba có cực trị trên khoảng K khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt trên K hoặc $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm thuộc K.

Ta có $m=3\Rightarrow y=-6{ x ^ 2 }+3$ hàm số có một điểm cực trị

Với $m\ne 3\Rightarrow y'=3\left( m-3 \right){ x ^ 2 }-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\dfrac{4m}{3(m-3)} \\ \end{array} \right.$

Hàm số không có cực trị $\Leftrightarrow \dfrac{4m}{3(m-3)}=0\Leftrightarrow m=0$ .

$\begin{array}{l} & y'={ x ^ 2 }-2mx+{ m ^ 2 }-m+1 \\ & y''=2x-2m \\ \end{array}$

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$

$\begin{array}{l} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & y'\left( 1 \right)=0 \\ & y''\left( 1 \right) < 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & 1-2m+{ m ^ 2 }-m+1=0 \\ & 2-2m < 0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & \left[ \begin{array}{l} & m=1 \\ & m=2 \\ \end{array} \right. \\ & m > 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=2 \\ \end{array}$

$y'={ x ^ 2 }-2mx+{ m ^ 2 }-m-1;\,y''=2x-2m$

$YCBT\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & y'\left( -1 \right)=0 \\ & y''\left( -1 \right) < 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & 1+2m+{ m ^ 2 }-m-1=0 \\ & -2-2m < 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & m\left( m+1 \right)=0 \\ & m > -1 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m=0$ .