Quy tắc II tìm cực trị

Quy tắc II tìm cực trị

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Quy tắc II tìm cực trị

MỤC LỤC

Lý thuyết về Quy tắc II tìm cực trị

Định lí: Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và $f'(x_0) = 0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0$

Nếu $f''(x_0) < 0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0$ .
Nếu $f''(x_0) > 0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0$ .

Từ định lí trên ta có một quy tắ để tìm cực trị của hàm số (nếu hàm số có đạo hàm cấp hai) như sau:

Quy tắc:

Tìm $f'(x)$ và các nghiệm $x_i (i = 1, 2, \cdots)$ của phương trình $f'(x) = 0$ .
Tìm $f''(x)$ và tính $f''(x_i)$ .

Nếu $f''(x_i) < 0$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i$ .

Nếu $f''(x_i) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i$ .

Ví dụ. Tìm cực trị cả hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-2{{x}^{2}}+6$

Giải.

Hàm số xác định với mọi $x\in R$

$f'\left( x \right)={{x}^{3}}-4x=x\left( {{x}^{2}}-4 \right);f'\left( x \right)=0\Rightarrow {{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=-2,{{x}_{3}}=2$

$f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4$

$f''\left( \pm 2 \right)=8>0\Rightarrow x=-2$ và $x=2$ là điểm cực tiểu;

$f''\left( 0 \right)=-4<0\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại

Kết luận

$f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=2$ ; ${{f}_{\text{CT}}}=f\left( \pm 2 \right)=2$

$f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=0$ và ${{f}_{\text{CĐ}}}=f\left( 0 \right)=6$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có cực đại tại $M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ . Khẳng định sai là?

A
${{x}_{0}}$ được gọi là điểm cực đại của hàm số.
B
$M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ là điểm có giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số.
C
$f({{x}_{0}})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
D
$M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hàm số $y=f(x)$ có cực đại tại $M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ thì
${{x}_{0}}$ được gọi là điểm cực đại của hàm số, $f({{x}_{0}})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số
$M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giá trị cực đại của hàm số chưa chắc đã là giá trị lớn nhất của hàm số.

Câu 2: Biết hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( -1;2 \right)$ và $f'\left( 0 \right)=0,\,f''\left( 0 \right)>0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
Giá trị cực đại của hàm số là $0$ .
B
$x=0$ là điểm cực tiểu.
C
$x=0$ là điểm cực đại.
D
Giá trị cực tiểu của hàm số là $0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( -1;2 \right)$ và $f'\left( 0 \right)=0,\,f''\left( 0 \right)>0\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu.

Câu 3: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$ . Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì

A
${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.
B
$y=f\left( x \right)$ làm hàm bậc hai.
C
chưa thể nói gì về ${{x}_{0}}$ .
D
${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo SGK Giải tích 12 (CB) trang 16 ta có: “Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$ . Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.”

Câu 4: Biết hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong $\left( 0;1 \right)$ ; $f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=0;f''\left( \dfrac{1}{2} \right)<0$ . Trong các khẳng đinh, khẳng định đúng là

A
Hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ .
B
Hàm số nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$
C
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\dfrac{1}{2}$ .
D
Hàm số đạt cực đại tại $x=\dfrac{1}{2}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo định lí 2 về quy tắc tìm cực trị trong SGK ta được khẳng định “Hàm số đạt cực đại tại $x=\dfrac{1}{2}$ ” đúng.

Câu 5: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( a;b \right)\,,\,{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\,:\,\,f'(x_0)=0\,\,;f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là

A
Hàm số đạt cực đại tại $x={{x}_{0}}$ .
B
Hàm số đạt cực tiểu tại $x={{x}_{0}}$ .
C
Hàm số nghịch biến trong khoảng $\left( a;b \right)$ .
D
Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( a;b \right)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào SGK phần định lí 2 quy tắc tìm cực trị ta được khẳng định “ Hàm số đạt cực đại tại $x={{x}_{0}}$ ” đúng.

Câu 6: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)$ với $h>0$ . Chọn khẳng định đúng:

A
Nếu $f'({{x}_{0}})=0,f''({{x}_{0}})>0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.
B
Nếu $f'({{x}_{0}})=0,f''({{x}_{0}})\le 0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.
C
Nếu $f'({{x}_{0}})=0,f''({{x}_{0}})\le 0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.
D
Nếu $f'({{x}_{0}})=0,f''({{x}_{0}})>0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xem lại quy tắc 2 về điểm cực trị trong SGK

Câu 7: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$ . Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì

A
chưa thể nói gì về ${{x}_{0}}$ .
B
${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.
C
${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.
D
$y=f\left( x \right)$ làm hàm bậc hai.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo SGK Giải tích 12 (CB) trang 16 ta có: “Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),$ với $h>0$ . Khi đó, nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.”

Câu 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( a;b \right);{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$ . Khi đó khẳng định đúng là:

A
Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0,\exists f''\left( {{x}_{0}} \right):f''\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0$ thì hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$
B
Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0,f''\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì hàm số không đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$
C
Nếu $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì không có cực trị tại ${{x}_{0}}$
D
Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hàm số không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ (VD $y=\left| x \right|$ không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$ nhưng lại có cực trị tại đểm đó)
$f'\left( {{x}_{0}} \right)=0,f''\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì hàm số có thể đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$ (VD hàm số $y={{x}^{4}}$ có $f'\left( 0 \right)=0,f''\left( 0 \right)=0$ có cực trị tại ${x}=0$ )
Vậy chọn đáp án: “ $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0,\exists f''\left( {{x}_{0}} \right):f''\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0$ thì hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$ ”

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới