Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Do $y'<0$ trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;+\infty \right)$ nên hàm số cũng nghịch biến trên các khoảng đó.

Ta có $y'=-{ x ^ 2 }+2\left( m-2 \right)x-m$

Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi $y'\le 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow -{ x ^ 2 }+2\left( m-2 \right)x-m\le 0,\forall x\in \mathbb R$

$\Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^ 2 }-m\le 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }-5m+4\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 4$ .

TXĐ: $D=\left( -\infty ;-m \right)\cup \left( -m;+\infty \right)$ ; $y'=\dfrac{m\left( m-2 \right)-m}{{{\left( x+m \right)}^ 2 }}=\dfrac{{ m ^ 2 }-3m}{{{\left( x+m \right)}^ 2 }}$

y đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow y' > 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }-3m > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & m > 3 \\ & m < 0 \\ \end{array} \right.$

Ta có $y'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}\Rightarrow$ Dấu của $y'$ sẽ phụ thuộc vào $a\text{d}-bc\Rightarrow$ Hàm số luôn đơn điệu trên các khoảng của tập xác định

Ta có $y'={ x ^ 2 }+2mx$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow { x ^ 2 }+2mx\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }\le 0\Leftrightarrow m=0$ .

Ta có $y'={ x ^ 2 }+2mx-m$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb R \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow { x ^ 2 }+2mx-m\ge 0,\forall x\in \mathbb R \Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow { m ^ 2 }+m\le 0$ $\Leftrightarrow -1\le m\le 0$ .

Hàm $y=-{ m ^ 2 }{ x ^ 3 }+m$  loại ngay vì với $m=0$ thì $y=0$ .

Hàm $y=-{ m ^ 2 }{ x ^ 3 }+m{ x ^ 2 }-3x+1$ có $y'=-3{ m ^ 2 }{ x ^ 2 }+2mx-3=-{{\left( mx\sqrt{3} -\dfrac{1}{{}\sqrt{3} } \right)}^ 2 }-\dfrac{8}{3} < 0,\forall x\in \mathbb R \Rightarrow y$ nghịch biến trên $\mathbb R$ với $\forall m\in \mathbb R$ .

Hàm $y=\dfrac{-mx+1}{x+m}$ loại ngay vì TXĐ của hàm số $y=\dfrac{-mx+1}{x+m}$ là $\mathbb R \backslash \left\{ -m \right\}$ không phải $\mathbb R$ .

Hàm $y={ x ^ 3 }-2mx+1$ có $y'=3{ x ^ 2 }-2m$ , ta chưa thể khẳng định được với $\forall m\in \mathbb R$ thì $y'\le 0,\forall x\in \mathbb R \Rightarrow$ Loại.

Yêu cầu bài toán

$\begin{gathered}    \Leftrightarrow y' = {x^2} + 2mx + 4 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {}&{a = 1 > 0} \\    {}&{\Delta ' = {m^2} - 4 \leqslant 0}  \end{array}} \right. \hfill \\    \Leftrightarrow {m^2} \leqslant 4 \Leftrightarrow  - 2 \leqslant m \leqslant 2 \hfill \\  \end{gathered}$

Yêu cầu bài toán

$\begin{gathered}    \Leftrightarrow y' =  - {x^2} + 2mx - 4 \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {}&{a =  - 1 < 0} \\    {}&{\Delta ' = {m^2} - 4 \leqslant 0}  \end{array}} \right. \hfill \\    \Leftrightarrow {m^2} \leqslant 4 \Leftrightarrow  - 2 \leqslant m \leqslant 2. \hfill \\  \end{gathered}$

TXĐ: $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right);f'\left( x \right)=\dfrac{m-1}{{{\left( x-1 \right)}^ 2 }}$ .

$f\left( x \right)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow y' < 0\Leftrightarrow m-1 < 0\Leftrightarrow m < 1$ .

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$ 
Ta có $y'=-\dfrac{10}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\,\,\forall x\in D\Rightarrow$Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến SGK lớp 10.

$y'=-3{{x}^{2}}+m;y'\le 0\forall x\Leftrightarrow m\le 0$