Tính chẵn lẻ hàm lượng giác.

Với A. Ta có $ f\left( -x \right)=\left( -x \right). {{\sin }^{3}}\left( -x \right)=x. {{\sin }^{3}}x=f\left( x \right) $ Vậy A đúng.
Với $ y=\dfrac{\operatorname{sinx}. cosx}{\tan x+\operatorname{cotx}} $ . tập xác định $ D $ là tập đối xứng.
Ta có $ f\left( -x \right)=\dfrac{\sin \left( -x \right). cos\left( -x \right)}{\tan \left( -x \right)+\cot \left( -x \right)}=\dfrac{-\sin x. \cos x}{-\left( \tan x+\cot x \right)}=\dfrac{\sin x. \cos x}{\tan x+\cot x}=f\left( x \right). $
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Với (I). Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Ta có. $ f\left( -x \right)=\dfrac{\sin \left( -x \right)-\tan \left( -x \right)}{2. \sin \left( -x \right)+3\cot \left( -x \right)}=\dfrac{-\operatorname{sinx}+tanx}{-2\sin x-3\cot x}=\dfrac{\sin x-\tan x}{2\sin x+3\cot x}=f\left( x \right) $
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục $ Oy $ là trục đối xứng. Vậy (I) đúng.
Với (II). Ta có $ f\left( -x \right)=\dfrac{{{\left( -x \right)}^{2}}}{\sin \left( -x \right)+\tan \left( -x \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}}{-\operatorname{sinx}-tanx}=-f\left( x \right) $
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Vậy (II) đúng.
Với (III). Ta có $ f\left( -x \right)=\dfrac{{{\sin }^{2016}}\left( -x \right)+2009}{\cos \left( -x \right)}=\dfrac{{{\sin }^{2016}}x+2009}{\cos x}=f\left( x \right) $
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Vậy (III) đúng.
Từ đây ta chọn (IV).

+ Hàm số $ y=\sqrt{\operatorname{sinx}} $ không là hàm chẵn không là hàm lẻ.
+ Hàm số $ y={{\sin }^{2}}x $ có tập xác định $ D=\mathbb{R} $ là tập đối xứng.
Ta có $ f\left( -x \right)={{\sin }^{2}}\left( -x \right)={{\left( -\operatorname{sinx} \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}x. $ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
+ Hàm số $ y=\dfrac{\cot x}{\cos x} $ . Tập xác định $ D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\dfrac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z} \right\} $ là tập đối xứng.
Ta có $ f\left( -x \right)=\dfrac{\cot \left( -x \right)}{\cos \left( -x \right)}=\dfrac{-\cot x}{\cos x}=-f\left( x \right). $ Vậy hàm số đó là hàm số lẻ.

Xét hàm $ y={{\sin }^{2016}}x. cosx $

Tập xác định là: $ D=\mathbb{R} $ .
Ta có: $ f\left( -x \right)={{\left( \sin \left( -x \right) \right)}^{2016\mathbb{R}}}. cos\left( -x \right)={{\sin }^{2016}}x. \cos x =f(x)$

Nên hàm số $ y={{\sin }^{2016}}x. cosx $ là hàm chẵn

Ta có $ y=\cos x $ là hàm chẵn nên $ y=\cos x $ là hàm lẻ là khẳng định sai.

Tập xác định của hàm số là $ D=\mathbb{R} $
Ta có. $ f\left( -x \right)=1-{{\sin }^{2}}\left( -x \right)=1-{{\left( -\sin x \right)}^{2}}=1-{{\sin }^{2}}x=f\left( x \right). $
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ta loại I và II do khi $ \sin x>0 $ thì $ \sin \left( -x \right)=-\sin x<0, $ do đó $ \sqrt{-\sin x} $ không tồn tại.
Với III. Hàm số xác định khi $ \cos x\ge 0\Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \le x\le \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}. $
Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.
Do vậy ta xét $ f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right). \sqrt{\cos \left( -x \right)}=-\sin x. \sqrt{\cos x}=-f\left( x \right). $ Vậy III đúng.

Xét hàm $ y=f\left( x \right)=\sin x+5\cos x $

TXĐ: $ D=\mathbb R $ .

Chọn $ \pm \dfrac{\pi } 4 \in \mathbb R $ . Ta có: $ f\left( -\dfrac{\pi } 4 \right)=2\sqrt{2} $ ; $ f\left( \dfrac{\pi } 4 \right)=3\sqrt{2} $

Vì $ \left\{ \begin{align} & f\left( -\dfrac{\pi } 4 \right)\ne f\left( \dfrac{\pi } 4 \right) \\ & f\left( -\dfrac{\pi } 4 \right)\ne -f\left( \dfrac{\pi } 4 \right) \\ \end{align} \right. $ nên hàm số không chẵn, không lẻ trên $ \mathbb R $ .

Tập xác định của hàm số là $ D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \left( 2k+1 \right)\dfrac{\pi }{3};k\in \mathbb{Z} \right\} $ là tập đối xứng.
Ta có. $ f\left( -x \right)=\dfrac{1+{{\sin }^{2}}\left( -2x \right)}{1+\cos \left( -3x \right)}=\dfrac{1+{{\left( \sin \left( -2x \right) \right)}^{2}}}{1+\cos \left( -3x \right)}=\dfrac{1+{{\sin }^{2}}2x}{1+\cos 3x} $
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho.

Nhận thấy hàm số $ y=f(x)=\sqrt{\cos x} $ có tập xác định là $R$ và có

$f(-x)=\sqrt{cos(-x)}=\sqrt{cosx}=f(x)$ nên hàm số đó là hàm chẵn.

 

Tập $ D=\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right] $ là tập đối xứng.
Ta có $ f\left( -x \right)=\sqrt{\cos \left( -x \right)}=\sqrt{\cos x}=f\left( x \right) $ . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng, do đó ta đi tìm hàm số lẻ trong bốn hàm số đã cho. Với bài toán này ta đi tìm hàm số là hàm số lẻ.
Ta có tập xác định $ D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ;k\in \mathbb{Z} \right\} $ là tập đối xứng.
$ f\left( -x \right)=\dfrac{1}{{{\sin }^{2013}}\left( -x \right)}=\dfrac{-1}{{{\sin }^{2013}}x}=f\left( x \right) $
Vậy hàm số lẻ có đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ.

Ta thấy hàm số ở phương án A là hàm số chẵn thì có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung chứ không phải đối xứng qua gốc tọa độ.

Ta thấy các hàm số ở phương án A; C là các hàm số lẻ, còn phương án D là hàm số chẵn. Do vậy ta chọn $ y=\sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right) $ . Thật vậy $ \sqrt{2}\sin \left( -x-\dfrac{\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\ne \sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right) $.

TXĐ. $ D=\mathbb{R} $
Ta có với $ x\in \mathbb{R}\Rightarrow -x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\cos \left( -x \right)=-2\cos \left( x \right). $ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Hàm số đã cho có tập xác định $ D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z} \right\}. $
Vậy với $ x\in D\Rightarrow -x\in D $ ta có.
$ f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right). co{{s}^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)=-\sin x. {{\cos }^{2}}x-\tan x=-f\left( x \right) $
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Với A, ta có $ -2\cos \left( -x \right)=-2\cos \left( x \right). $ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Với $ y=-2\sin x. $ , ta có. $ -2\sin \left( -x \right)=-2\left( -\sin x \right)=2\sin x=-f\left( x \right). $ Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

(I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Ta có
$ f\left( -x \right)=\tan \left( -x \right)+\cot \left( -x \right)=-\tan x-\cot x=-f\left( x \right) $ Vậy (I) đúng.
(II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng, ta có
$ f\left( -x \right)=\tan \left( -x \right)-\cot \left( -x \right)=-\tan x+\cot x=-f\left( x \right) $
Vậy II đúng.

-Với (I) ta có $ f\left( -x \right)=\tan \left( -x \right)+\cos \left( -x \right)=-\tan x+\cos x\ne -f\left( x \right)\ne f\left( x \right) $
Vậy hàm số ở $ (I) $ không phải là hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.
-Với (II) ta có $ f\left( -x \right)=\tan \left( -x \right)+\sin \left( -x \right)=-\tan x-\sin x=-f\left( x \right). $
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.