Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin cos

Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với \[sin\] \[cos\]

Phương trình dạng:

a, \[a{{\sin }^{2}}x+b{{\cos }^{2}}x+c\sin x\cos x+d=0\] (1).

được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.

b, \[a{{\sin }^{3}}x+b{{\sin }^{2}}x\cos x+c\sin x{{\cos }^{2}}x+d{{\cos }^{3}}x=0\](2).

được gọi là phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin và cos.

Phương pháp:

Bước 1: Kiểm tra xem $\cos x=0$ có phải nghiệm không.

Bước 2: Chia 2 vế cho ${{\cos }^{2}}x$ (đối với phương trình (1)) hoặc ${{\cos }^{3}}x$ (đối với phương trình (3)) sau đó đưa về phương trình của $\tan x$.

Ví dụ: Giải phương trình:

${{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x+\sin x{{\cos }^{2}}x=3{{\cos }^{3}}x$ (1).

Giải:

Nhận thấy $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1$ không thỏa mãn phương trình (1).

Chia 2 vế của (1) cho ${{\cos }^{3}}x$. Đặt \[\tan x=t\] ta được:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\
 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \text{ }\left( k\in Z \right)$.