Phương trình cơ bản

Phương trình cơ bản

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương trình cơ bản

Lý thuyết về Phương trình cơ bản

1. Phương trình \[sin x = m.\]   

Điều kiện có nghiệm: \[ - 1 \le m \le 1\]. Khi đó

\[\sin x = m = \sin \alpha {\rm{ \;}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi \;}\end{array}} \right.\]\[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

2. Phương trình \[\cos x=m.\]   

Điều kiện có nghiệm: \[- 1 \le m \le 1\]. Khi đó

\[\cos x = m = \cos \alpha \; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha \; + k2\pi }\\{x =  - \alpha \; + k2\pi \;}\end{array}} \right.\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

3. Phương trình \[\tan x = m.\]

\[\tan x=m=\tan \alpha \text{  }\!\!~\!\!\text{ }\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi \] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

4. Phương trình \[\cot x = m.\] 

\[\cot x = m = \cot a \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \]  \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

Ví dụ 1: Giải phương trình \[\sin x=\dfrac{1}{3}.\]

\[\sin x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi \;}\end{array}} \right.\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] với \[\alpha \] thỏa mãn \[\sin \alpha =\dfrac{1}{3}.\]

Ví dụ 2: Giải phương trình \[\cot 3x=1\].

\[\cot 3x = 1 = \cot \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ \;}} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

Vậy phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Phương trình $ \sin \left( x+{{10}^{0}} \right)=\dfrac{1}{2} $ với $ {{0}^{0}}<x<{{180}^{0}} $ có nghiệm là.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hướng dẫn giải:

$ \begin{array}{l}
\sin \left( x+{{10}^{0}} \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+{{10}^{0}} \right)=\sin {{30}^{0}} \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x+{{10}^{0}}={{30}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x+{{10}^{0}}=180-{{30}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x={{20}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x={{140}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right. ;k\in \mathbb{Z}
\end{array} $
Mà $ x\in \left( {{0}^{0}};{{180}^{0}} \right)\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x={{20}^{0}} \\
x={{140}^{0}}
\end{array} \right.. $

Câu 2: Số nghiệm của phương trình \[ 2\sin x-\sqrt{3}=0 \] trên đoạn \[ \left[ 0;2\pi\right] \]

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ 2\sin x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \operatorname{sinx}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi
\\
x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi
\end{array} \right. ;\left( k\in \mathbb{Z} \right) $
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $\left[ 0;2\pi \right]$ là $x=\dfrac{\pi }{3}$ và $x=\dfrac{2\pi }{3}$.

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình $ 2\sin \left( x+{{20}^{0}} \right)-1=0 $ trên $ \left( 0;{{180}^{0}} \right) $ là.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$2\sin \left( x+{{20}^{0}} \right)-1=0$

$\Leftrightarrow \sin \left( x+{{20}^{0}} \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+{{20}^{0}} \right)=\sin {{30}^{0}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x+{{20}^{0}}={{30}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x+{{20}^{0}}={{180}^{0}}-{{30}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x={{10}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x={{130}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right. \left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Vậy tổng các nghiệm trên $ \left( 0;{{180}^{0}} \right) $ là $ {{10}^{0}}+{{130}^{0}}={{140}^{0}} $.