Phương trình cơ bản
Lý thuyết về Phương trình cơ bản
1. Phương trình \[sin x = m.\]
Điều kiện có nghiệm: \[ - 1 \le m \le 1\]. Khi đó
\[\sin x = m = \sin \alpha {\rm{ \;}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi \;}\end{array}} \right.\]\[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
2. Phương trình \[\cos x=m.\]
Điều kiện có nghiệm: \[- 1 \le m \le 1\]. Khi đó
\[\cos x = m = \cos \alpha \; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha \; + k2\pi }\\{x = - \alpha \; + k2\pi \;}\end{array}} \right.\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
3. Phương trình \[\tan x = m.\]
\[\tan x=m=\tan \alpha \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi \] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
4. Phương trình \[\cot x = m.\]
\[\cot x = m = \cot a \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Ví dụ 1: Giải phương trình \[\sin x=\dfrac{1}{3}.\]
\[\sin x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha {\rm{ \;}} + k2\pi \;}\end{array}} \right.\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] với \[\alpha \] thỏa mãn \[\sin \alpha =\dfrac{1}{3}.\]
Ví dụ 2: Giải phương trình \[\cot 3x=1\].
\[\cot 3x = 1 = \cot \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ \;}} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\] \[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Phương trình $ \sin \left( x+{{10}^{0}} \right)=\dfrac{1}{2} $ với $ {{0}^{0}}<x<{{180}^{0}} $ có nghiệm là.
- A
- B
- C
- D
Hướng dẫn giải:
$ \begin{array}{l}
\sin \left( x+{{10}^{0}} \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+{{10}^{0}} \right)=\sin {{30}^{0}} \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x+{{10}^{0}}={{30}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x+{{10}^{0}}=180-{{30}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x={{20}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x={{140}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right. ;k\in \mathbb{Z}
\end{array} $
Mà $ x\in \left( {{0}^{0}};{{180}^{0}} \right)\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x={{20}^{0}} \\
x={{140}^{0}}
\end{array} \right.. $
Câu 2: Số nghiệm của phương trình \[ 2\sin x-\sqrt{3}=0 \] trên đoạn \[ \left[ 0;2\pi\right] \] là
- A
- B
- C
- D
$ 2\sin x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \operatorname{sinx}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi
\\
x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi
\end{array} \right. ;\left( k\in \mathbb{Z} \right) $
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $\left[ 0;2\pi \right]$ là $x=\dfrac{\pi }{3}$ và $x=\dfrac{2\pi }{3}$.
Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình $ 2\sin \left( x+{{20}^{0}} \right)-1=0 $ trên $ \left( 0;{{180}^{0}} \right) $ là.
- A
- B
- C
- D
$2\sin \left( x+{{20}^{0}} \right)-1=0$
$\Leftrightarrow \sin \left( x+{{20}^{0}} \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+{{20}^{0}} \right)=\sin {{30}^{0}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x+{{20}^{0}}={{30}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x+{{20}^{0}}={{180}^{0}}-{{30}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x={{10}^{0}}+k{{360}^{0}} \\
x={{130}^{0}}+k{{360}^{0}}
\end{array} \right. \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Vậy tổng các nghiệm trên $ \left( 0;{{180}^{0}} \right) $ là $ {{10}^{0}}+{{130}^{0}}={{140}^{0}} $.