PP đặt ẩn phụ

PP đặt ẩn phụ:

1.Bất phương trình có dạng : $m.{{\alpha }^{2f\left( x \right)}}+n.{{\alpha }^{f\left( x \right)}}+p>0$

Đặt $t={{\alpha }^{f\left( x \right)}}$ , $t>0$.

Bất phương trình trở thành $m{{t}^{2}}+nt+p>0$. 

Giải bất phương trình tìm $t$ suy ra $x$.

2.Bất phương trình có dạng : $m.{{\alpha }^{2f\left( x \right)}}+n{{\left( \alpha \beta  \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{\beta }^{2f\left( x \right)}}>0$

Chia hai vế của bpt cho ${{\beta }^{2f\left( x \right)}}$, bất phương trình trở thành: $m{{\left( \frac{\alpha }{\beta } \right)}^{2f\left( x \right)}}+n{{\left( \frac{\alpha }{\beta } \right)}^{f\left( x \right)}}+p>0$.

Đặt $t={{\left( \frac{\alpha }{\beta } \right)}^{f\left( x \right)}}$ , $t>0$

Bất phương trình trở thành $m{{t}^{2}}+nt+p>0$. 

Giải bất phương trình tìm $t$ suy ra $x$.

Ví dụ:

Giải bất phương trình: ${{9}^{x}}-{{3.6}^{x}}+{{2.4}^{x}}>0$.

Ta có: ${{9}^{x}}-{{3.6}^{x}}+{{2.4}^{x}}>0$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-3.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}+2>0$ (1)

Đặt ${{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=t$ $\left( t>0 \right)$ . Khi đó (1) tương đương với:

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2>0$$\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( t-2 \right)>0$

$\Leftrightarrow t>2$ hoặc $t<1$

$\Leftrightarrow x>{{\log }_{\frac{3}{2}}}2$ hoặc $x<0$

Vậy $x>{{\log }_{\frac{3}{2}}}2$ hoặc $x<0$.

3. Bất phương trình có dạng : $m.{{\alpha }^{f\left( x \right)}}+n{{\beta }^{f\left( x \right)}}+p>0$, trong đó $\alpha .\beta =1$.

Đặt $t={{\alpha }^{f\left( x \right)}}$ , $t>0$ $\Rightarrow {{\beta }^{f\left( x \right)}}=\frac{1}{t}$. 

Khi đó bất phương trình trở thành $m{{t}^{2}}+pt+n>0$.

Giải bất phương trình tìm $t$ suy ra $x$.

Ví dụ: Giải bất phương trình: ${{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+{{\left( 4-\sqrt{15} \right)}^{x}}\le 62$.

Lời giải

Ta có: $\left( 4+\sqrt{15} \right).\left( 4-\sqrt{15} \right)=1$

${{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+{{\left( 4-\sqrt{15} \right)}^{x}}\le 62$$\Leftrightarrow {{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4+\sqrt{15}} \right)}^{x}}\le 62$$\Leftrightarrow {{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+\frac{1}{{{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}}\le 62$

Đặt $t={{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}},\,\,t>0$.

Bất phương trên trở thành: $t+\frac{1}{t}\le 62\Leftrightarrow {{t}^{2}}-62t+1\le 0\Leftrightarrow 31-8\sqrt{15}\le t\le 31+8\sqrt{15}$

$\Rightarrow 31-8\sqrt{15}\le {{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}\le 31+8\sqrt{15}\Leftrightarrow -2\le x\le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[ -2;2 \right]$.