Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Lý thuyết về Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa. Cho $a$ là một số thực dương và $r = \dfrac{m}{n}$ là một số hữu tỉ, trong đó $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N^*}$. Khi đó lũy thừa của $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi $$a^r = a^{\dfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho các số thực dương $ a,\text{ }b $ và $ x,\text{ }y $ là các số thực bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có tính chất $ {{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{x}}=\dfrac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}}={{a}^{x}}{{b}^{-x}}. $
Câu 2: Rút gọn $ A=\dfrac{{{a}^{^{\dfrac{4}{3}}}}-8{{a}^{\dfrac{1}{3}}}b}{{{a}^{\dfrac{2}{3}}}+2\sqrt[3]{ab}+4{{b}^{\dfrac{2}{3}}}}.{{\left( 1-2\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}} \right)}^{-1}}-{{a}^{\dfrac{2}{3}}} $ được kết quả là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ A=\dfrac{{{a}^{\dfrac{4}{3}}}-8{{a}^{\dfrac{1}{3}}}b}{{{a}^{\dfrac{2}{3}}}+2\sqrt[3]{ab}+4{{b}^{\dfrac{2}{3}}}}.{{\left( 1-2\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}} \right)}^{-1}}-{{a}^{\dfrac{2}{3}}} $
$ =\dfrac{{{a}^{\dfrac{1}{3}}}\left( a-8b \right)}{{{a}^{\dfrac{2}{3}}}+2{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{3}}}+4{{b}^{\dfrac{2}{3}}}}.{{\left( 1-2{{\left( \dfrac{b}{a} \right)}^{\dfrac{1}{3}}} \right)}^{-1}}-{{a}^{\dfrac{2}{3}}} $
Đặt $ \left\{ \begin{matrix} x={{a}^{\dfrac{1}{3}}} \\ y={{b}^{\dfrac{1}{3}}} \\ \end{matrix}\Rightarrow A=\dfrac{x\left( {{x}^{3}}-8{{y}^{3}} \right)}{{{x}^{2}}+2xy+4{{y}^{2}}}{{\left( \dfrac{x-2y}{x} \right)}^{-1}}-{{x}^{2}} \right. $ . $ =\dfrac{x\left( {{x}^{3}}-8{{y}^{3}} \right)}{{{x}^{2}}+2xy+4{{y}^{2}}}.\dfrac{x}{x-2y}-{{x}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}-8{{y}^{3}} \right)}{{{x}^{3}}-8{{y}^{3}}}-{{x}^{2}}=0 $
Câu 3: Rút gọn biểu thức $ \dfrac{{{x}^{\dfrac{5}{4}}}y+x{{y}^{\dfrac{5}{4}}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\left( x,y > 0 \right) $ được kết quả là:s
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \dfrac{{{x}^{\dfrac{5}{4}}}y+x{{y}^{\dfrac{5}{4}}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}=\dfrac{xy\left( {{x}^{\dfrac{1}{4}}}+{{y}^{\dfrac{1}{4}}} \right)}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}=xy $
Câu 4: Cho $ K={{\left( {{x}^{\dfrac{1}{2}}}-{{y}^{\dfrac{1}{2}}} \right)}^{2}}{{\left( 1-2\sqrt{\dfrac{y}{x}}+\dfrac{y}{x} \right)}^{-1}} $ . biểu thức rút gọn của K là:
- A
- B
- C
- D
\[{K = {{\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)}^2}{{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)}^{ - 1}}}\]
\[{ = {{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}{{\left( {\frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{x}} \right)}^{ - 1}}}\]
\[{ = {{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}\frac{x}{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}} = x}\]
Câu 5: Viết biểu thức $ \sqrt[4]{{{x}^{2}}\sqrt[3]{x}}\,,\,(x > 0) $ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- A
- B
- C
- D
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới