Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\Large x^2+y^2>1$ và $\Large \log

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\Large x^2+y^2>1$ và $\Large \log_{x^2+y^2}(2x+3y)\geq 1$. Giá trị lớn nhất $\Large P_{max}$ của biểu thức $\Large P=2x+y$ bằng 

• A.

  A. $\Large P_{max}=\dfrac{7+\sqrt{65}}{2}$

   
• B.

  B. $\Large P_{max}=\dfrac{19+9\sqrt{11}}{2}$

• C.

  C. $\Large P_{max}=\dfrac{7-\sqrt{10}}{2}$

• D.

  D. $\Large P_{max}=\dfrac{11+10\sqrt{2}}{3}$

Chọn C

Vì $\Large x^2+y^2>1$ suy ra $\Large y=\log_{x^2+y^2}f(x)$ là hàm đồng biến trên tập xác định 

Khi đó $\Large \log_{x^2+y^2}(2x+3y)\geq \log_{x^2+y^2}(x^2+y^2)\Leftrightarrow 2x+3y\geq x^2+y^2$

$\Large \Leftrightarrow x^2-2x+y^2-3y\leq0\Leftrightarrow  (x^2-2x+1)+\left(y^2-2.y.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}\right)\leq \dfrac{13}{4}\Leftrightarrow (x-1)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2\leq \dfrac{13}{4}$

Xét biểu thức P, ta có: $\Large P=2x+y=2(x-1)+y-\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow 2(x-1)+y-\dfrac{3}{2}=P-\dfrac{7}{2}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có: $\Large \left[2(x-1)+y-\dfrac{3}{2}\right]^2\leq(2^2+1^2).\left[(x-1)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2\right]\leq\dfrac{65}{4}\\ \Large \Leftrightarrow \left(P-\dfrac{7}{2}\right)^2\leq\dfrac{65}{4}\Leftrightarrow \dfrac{7-\sqrt{65}}{2}\leq P\leq\dfrac{7+\sqrt{65}}{2}$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&P_{\min}=\dfrac{7-\sqrt{65}}{2}\\&P_{\max}=\dfrac{7+\sqrt{65}}{2}\\\end{align}\right.$