Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1 và $\Large a^{x

Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1 và $\Large a^{x-3y}=b^{x+3y}=\sqrt[3]{ab}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=3x+6y-1$ bằng

• A. $\Large \dfrac{5}{3}$
• B. $\Large \dfrac{3}{4}$
• C. $\Large \dfrac{\sqrt{5}}{3}$
• D. $\Large \dfrac{\sqrt{6}}{6}$

Từ giả thiết ta có: $\Large a > 1, b > 1\Rightarrow \log_ab=\log_a1=0$

$\Large \left\{\begin{align}&a^{x-3y}=\sqrt[3]{ab}\\&b^{x+3y}=\sqrt[3]{ab}\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x-3y=\log_a\sqrt[3]{ab}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\log_ab\\&x+3y=\log_b\sqrt[3]{ab}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\log_ba=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\log_ab}\\\end{align}\right.$

$\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&x=\dfrac{1}{6}\left(2+\log_ab+\dfrac{1}{\log_ab}\right)\\&y=\dfrac{1}{18}\right(\dfrac{1}{\log_ab}-\log_ab\right)\\\end{align}\right.$

Khi đó: $\Large P=\dfrac{1}{2}\left(2+\log_ab+\dfrac{1}{\log_ab}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\log_ab}-\log_ab\right)-1=\dfrac{1}{6}\log_ab+\dfrac{5}{6\log_ab}$

$\Large =\dfrac{1}{6}\left(\log_ab+\dfrac{5}{\log_ab}\right)\geq \dfrac{1}{6}.2\sqrt{\log_ab.\dfrac{5}{\log_ab}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$