Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $\Large

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $\Large \log_3(7x^{2}+7)\geq \log_3(mx^{2}+4x+m)$ có tập nghiệm là $\Large \mathbb{R}$?

• A. 2
• B. 3
• C. 5
• D. 4

Ta có:

$\Large \log_3(7x^{2}+7)\geq \log_3(mx^{2}+4x+m)\Leftrightarrow$ $\Large \left\{\begin{align}&mx^{2}+4x+m > 0\\&7x^{2}+7 \geq mx^{2}+4x+m\\\end{align}\right.$ luôn đúng $\Large \forall m \in \mathbb{R}$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&mx^{2}+4x+m > 0\\&(m-7)x^{2}+4x+m-7 \leq 0$ luôn đúng $\Large \forall x \in \mathbb{R}$

+ Xét bất phương trình $\Large mx^{2}+4x+m > 0(*) \forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $\Large m=0\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 4x > 0\Leftrightarrow x > 0$ (loại)

Nếu $\Large m\neq 0$ thì $\Large (*)\Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m > 0\\&\Delta '=4-m^{2} < 0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m > 0\\&\left[\begin{align}&m > 2\\&m < -2\\\end{align}\right.\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow m > 2(1)$

+ Xét bất phương trình $\Large (m-7)x^{2}+4x+m-7 \leq 0 (**) \forall x \in \mathbb{R}$

Nếu $\Large m=7\Rightarrow (**)\Leftrightarrow 4x \leq 0\Leftrightarrow x\leq 0$ (loại)

Nếu $\Large m\neq 7$ thì $\Large (**)\Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m-7 < 0\\&\Delta'=4-(m-7)^{2}\leq 0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m < 7\\&\left[\begin{align}&m-7 \geq 2\\&m-7\leq -2\\\end{align}\right.\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m < 7\\&\left[\begin{align}&m\geq 9\\&m\leq 5\\\end{align}\right.\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow m\leq 5(2)$

Kết hợp (1) và (2) $\Large \Leftrightarrow 2 < m \leq 5$

Mà $\Large m\in\mathbb{Z}\Rightarrow m=\{3;4;5\}\Rightarrow$ Có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán