Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\Large 3^{x-1}=\log

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\Large 3^{x-1}=\log_{27}(x+3m)+m$ có nghiệm $\Large x\in[-1;6]$

• A. 241
• B. 242
• C. 723
• D. 724

Điều kiện $\Large x > -3m$

$\Large PT\Leftrightarrow \log_3(x+3m)+3m\Leftrightarrow 3^{x}+x=3^{\log_3(x+3m)}+\log_3(x+3m)(1)$

Xét hàm số $\Large f(t)=3^{t}+t,\forall t\in\mathbb{R}$; Ta có: $\Large f'(t)=3^{t}\ln3+1 > 0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow$ Hàm số f(t) đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$

Từ (1) suy ra $\Large f(x)=f(\log_3(x+3m))\Leftrightarrow x=\log_3(x+3m)\Leftrightarrow x+3m=3^{x}\Leftrightarrow 3m=3^{x}-x(1)$

Xét hàm số $\Large g(x)=3^{x}-x$ trên [-1;6]

Ta có: $\Large g'(x)=3^{x}\ln 3-1;g'(x)=0\Leftrightarrow 3^{x}\ln 3=1\Leftrightarrow x=\log_3(\log_3e)\in(-1;6)$

$\Large \Rightarrow g(\log_3(\log_3e))=\log_3e-\log_3(\log_3e)\approx 0,996;g(-1)=\dfrac{4}{3};g(6)=723$

Khi $\Large -3m > -1\Leftrightarrow 3m < 1$ thì sẽ không có giá trị nguyên nào của m để phương trình (1) có nghiệm

Khi $\Large -3m \leq -1\Leftrightarrow m\geq \dfrac{1}{3}$, phương trình (1) có nghiệm $\Large \Leftrightarrow \log_3e-\log_3(\log_3e)\leq 3m\leq 723$

Do m nguyên nên $\Large 1 \leq m\leq 241$. Vậy có 241 giá trị của m