Với n là số nguyên dương, gọi $\Large a_{3 n-3}$ là hệ số của $\Large

Với n là số nguyên dương, gọi $\Large a_{3 n-3}$ là hệ số của $\Large x^{3 n-3}$ trong khai triển thành đa thức của $\Large \left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}$. Tìm n để $\Large a_{3 n-3}=26 n$

• A.

  $\Large n=3$

• B.

  $\Large n=4$

• C.

  $\Large n=5$

• D.

  $\Large n=2$

Chọn C

Cách 1: Ta có

$\Large \left(x^{2}+1\right)^{n}=C_{n}^{0} x^{2 n}+C_{n}^{1} x^{2 n-2}+C_{n}^{2} x^{2 n-4}+\ldots+C_{n}^{n}$

$\Large (x+2)^{n}=C_{n}^{0} x^{n}+2 C_{n}^{1} x^{n-1}+2^{2} C_{n}^{2} x^{n-2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}$

Dễ dàng kiểm tra $\Large n=1, n=2$ không thỏa mãn điều kiện bài toán

Với $\Large n \geq 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích $\Large x^{3 n-3}=x^{2 n} x^{n-3}=x^{2 n-2} x^{n-1}$

Do đó hệ số của $\Large x^{3n-3}$ trong khai triển thành đa thức của $\Large \left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}$ là: $\Large a_{3 n-3}=2^{3} C_{n}^{0} C_{n}^{3}+2 C_{n}^{1} C_{n}^{1}$

Suy ra $\Large a_{3 n-3}=26 n \Leftrightarrow \dfrac{2 n\left(2 n^{2}-3 n+4\right)}{3}=26 n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$ hoặc $\Large n=5$