Tìm hệ số của số hạng chứa $\Large x^{26}$ trong khai triển nhị thức N

Tìm hệ số của số hạng chứa $\Large x^{26}$ trong khai triển nhị thức Newton của $\Large \left(\frac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{n}$, biết $\Large C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{20}-1$

• A. 210
• B. 213
• C. 414
• D. 213

Chọn A

Do $\Large C_{2 n+1}^{k}=C_{2 n+1}^{2 n+1-k}, \forall k=0,1,2, \ldots, 2 n+1$

$\Large \Rightarrow C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=C_{2 n+1}^{n+1}+C_{2 n+1}^{n+2}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}$

Mặt khác: $\Large C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}=2^{2 n+1}$

$\Large \Rightarrow 2\left(C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}\right)=2^{2 n+1}$

$\Large \Rightarrow C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{2 n}-C_{2 n+1}^{0}=2^{2 n}-1$

$\Large \Rightarrow 2^{2 n}-1=2^{20}-1 \Rightarrow n=10$

Khi đó: $\Large \left(\frac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{10}=\left(x^{-4}+x^{7}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}\left(x^{-4}\right)^{10-k} x^{7 k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} x^{11 k-40}$

Hệ số chứa $\Large x^{26}$ ứng với giá trị k thỏa mãn: $\Large 11 k-40=26 \Rightarrow k=6$

Vậy hệ só chứa $\Large x^{26}$ là: $\Large C_{10}^{6}=210$