Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho các điểm $\Large A(2

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho các điểm $\Large A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4)$. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ)

 

• A. $\Large x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-4z=0$
• B. $\Large (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=9$
• C. $\Large (x-1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=20$
• D. $\Large x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+4z=9$

Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Ta có: $\Large \left\{\begin{align}&IO^{2}=IA^{2}\\&IO^{2}=IB^{2}\\&IO^{2}=IC^{2}\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-2)^{2}+b^{2}+c^{2}\\&a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+(b-4)^{2}+c^{2}\\&a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+(c-4)^{2}\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&-4a+4=0\\&-8b+16=0\\&-8c+16=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a=1\\&b=2\\&c=2\\\end{align}\right.$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là $\Large R=IO=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=3$

Cách nhanh: Ta thử tọa độ các điểm vào các phương trình. Cụ thể thấy tọa độ điểm $\Large O(0;0;0)$ chỉ thỏa mãn B