Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(4;

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(4;0;0), B(a;b;0),C(0;0;c)$ với $\Large (a,b,c > 0)$ thỏa mãn độ dài đoạn $\Large AB=2\sqrt{10}$, góc $\Large \widehat{AOB}=45^{o}$ và thể tích khối tứ diện OABC bằng 8. Tính tổng T = a + b + c

• A. $\Large T=2$
• B. $\Large T=10$
• C. $\Large T=12$
• D. $\Large T=14$

$\Large V_{OABC}=\dfrac{1}{3}.S_{OAB}.OC=\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC.\sin\widehat{AOB}=\dfrac{1}{6}.4.\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=8\Leftrightarrow c^{2}(a^{2}+b^{2})=288$

Lại có $\Large AB=\sqrt{(a-4)^{2}+b^{2}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow (a-4)^{2}+b^{2}=40$

Theo định lí hàm số cô-sin ta có:

$\Large AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2.OA.OB\cos45^{o}=16+a^{2}+b^{2}-4\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}=40$

$\Large \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=72\Rightarrow c^{2}=\dfrac{288}{72}=4\Rightarrow c=2;-8a+16+72=40\Leftrightarrow a=6 \Rightarrow b = 6$

Vậy $\Large T=6+6+2=14$