Trong không gian $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Large \left( \alpha \r

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Large \left( \alpha  \right)$ vuông góc với $\Large \Delta$ : $\Large \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z}{3}$ và $\Large \left( \alpha  \right)$ cắt trục  $\Large Ox$, trục $\Large Oy$ và tia $\Large Oz$ lần lượt tại $\Large M$, $\Large N$, $\Large P$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $\Large OMNP$ bằng $\Large 6$. Mặt phẳng $\Large \left( \alpha  \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

• A.

  $\Large C\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)$.

• B.

  $\Large B\left( 1\,;\,-1\,;\,1 \right)$.

• C.

  $\Large A\left( 1\,;\,-1\,;\,-3 \right)$.

• D.

  $\Large D\left( 1\,;\,-1\,;\,-2 \right)$.

Chọn B
Đường thẳng $\Large \Delta$\Large  có một vectơ chỉ phương là $\Large {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 1\,;\,-2\,;\,3 \right)$.
Do $\Large \left( \alpha  \right)\bot \Delta$\Large  nên $\Large {{\vec{n}}_{\alpha }}={{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 1\,;\,-2\,;\,3 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\Large \left( \alpha  \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\Large \left( \alpha  \right)$ có dạng: $\Large x-2y+3z-6D=0$.
Theo bài ra, ta có: $\Large M\left( 6D\,;\,0\,;\,0 \right)$, $\Large N\left( 0\,;\,-3D\,;\,0 \right)$, $\Large N\left( 0\,;\,0\,;\,2D \right)$ với $\Large D>0$.
Thể tích của khối tứ diện $\Large OMNP$ là $\Large V=\dfrac{1}{6}.OM.ON.OP=\dfrac{1}{6}.\left| 6D \right|.\left| -3D \right|.2D=6{{D}^{3}}$.
Do $\Large V=6$ nên  $\Large 6{{D}^{3}}=6\Leftrightarrow D=1$.
Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng $\Large \left( \alpha  \right)$: $\Large x-2y+3z-6=0$.
Dễ thấy $\Large B\left( 1\,;\,-1\,;\,1 \right)$ thuộc mặt phẳng $\Large \left( \alpha  \right)$