Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thỏa mãn $\Large \dfrac{\ln x}{x+1}+

Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thỏa mãn $\Large \dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac{1}{x}>\dfrac{\ln x}{x-1}+\dfrac{m}{x}$, $\Large \forall x>0$, $\Large x\ne 1$?

• A. $\Large 2$.
• B. $\Large 1$.
• C. Vô số.
• D. $\Large 0$.

Chọn C
Với $\Large x>0$, $\Large x\ne 1$ ta có:
$\Large \dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac{1}{x}>\dfrac{\ln x}{x-1}+\dfrac{m}{x}\Leftrightarrow \dfrac{m}{x}<\ln x\left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} \right)+\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow m<-2\dfrac{x\ln x}{{{x}^{2}}-1}+1=f\left( x \right)$
Xét hàm số: $\Large f\left( x \right)=-2\dfrac{x\ln x}{{{x}^{2}}-1}+1$ với $\Large x>0$, $\Large x\ne 0$.
Ta có: $\Large {f}'\left( x \right)=2.\dfrac{{{x}^{2}}\ln x+\ln x+1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}$.
$\Large {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ln x+\ln x+1-{{x}^{2}}=0$ $\Large \left( 1 \right)$.
Xét hàm số $\Large g\left( x \right)={{x}^{2}}\ln x+\ln x+1-{{x}^{2}}$ với $\Large x>0$
Đạo hàm $\Large {g}'\left( x \right)=2x\ln x+\dfrac{1}{x}-x$
$\Large {g}''\left( x \right)=2\ln x+1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$.
$\Large {g}'''\left( x \right)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}>0$, $\Large \forall x>0$ $\Large \Rightarrow $\Large  Hàm số $\Large {g}''\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\Large \left( 0\,;\,+\infty  \right)$.
Từ đó suy ra phương trình $\Large {g}''\left( x \right)=0$ nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Lại có $\Large {g}''\left( 1 \right)=0$. Suy ra phương trình $\Large {g}''\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $\Large x=1$.
Bảng biến thiên của hàm số $\Large y={g}'\left( x \right)$:
 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $\Large {g}'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $\Large x=1$.
Bảng biến thiên của hàm số $\Large y=g\left( x \right)$:
 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $\Large g\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $\Large x=1$.
Giới hạn:
$\Large \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-2.\dfrac{\ln x}{x-1}.\dfrac{x}{x+1} \right)=1-2\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{\ln x}{x-1}.\dfrac{x}{x+1} \right)=1-1=0$.
Bảng biến thiên của hàm số $\Large y=f\left( x \right)$:
 
Bất phương trình $\Large m0$, $\Large x\ne 1$ $\Large \Leftrightarrow m\le 0$.
Vậy có vô số các giá trị nguyên của $\Large m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán