Trong không gian $\Large Oxyz$, cho bốn điểm $\Large A(-4;-1;3), B(-1;

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho bốn điểm $\Large A(-4;-1;3), B(-1;-2;-1), C(3;2;-3)$ và $\Large D(0;-3;-5)$. Gọi $\Large (\alpha)$ là mặt phẳng đi qua D và tổng khoảng cách từ $\Large A, B, C$ đến $\Large (\alpha)$ lớn nhất, đồng thời ba điểm $\Large A, B, C$ nằm về cùng phía so với $\Large (\alpha)$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng $\Large (\alpha)$

• A. $\Large E_1(7;-3;-4)$
• B. $\Large E_2(2;0;-7)$
• C. $\Large E_3(-1;-1;-6)$
• D. $\Large E_4(36;1;-1)$

Gọi G là trọng tâm của tam giác $\Large ABC$ nên $\Large G\left(-\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)$

Suy ra: $\Large T=d(A;(\alpha))+d(B;(\alpha))+d(C;(\alpha))=3d(G;(\alpha))\leq 3GD$.Vậy GTLN của $\Large T$ bằng $\Large 3GD$, đẳng thức xảy ra khi $\Large GD \perp (\alpha)$ tại $\Large D$

Do đó: Phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha)$ qua $\Large D(0;-3;-5)$ nhận $\Large \overrightarrow{GD}=\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{8}{3};-\dfrac{14}{3}\right)$ làm VTPT có dạng: $\Large x-4y-7z-47=0$

Vậy $\Large E_1(7;-3;-4)\in(\alpha)$

Chú ý: Ta chứng minh $\Large d(A;(\alpha))+d(B;(\alpha))+d(C;(\alpha))=3d(G;(\alpha))$, với $\Large A, B, C$ ở cùng phía so với mặt phẳng $\Large (\alpha)$ như sau:

Gọi $\Large (\alpha):ax+by+cx+d=0$. Đặt $\Large f(M)=ax_M+by_M+cz_M+d$

Vì $\Large A,B,C$ ở cùng phía so với mặt phẳng $\Large (\alpha)$ nên $\Large f(A), f(B),f(C)$ cùng dấu. Suy ra:

$\Large |f(A)|+|f(B)|+|f(C)|=|f(A)+f(B)+f(C)|$

Ta có

$\Large d(A;(\alpha))+d(B;(\alpha))+d(C;(\alpha))=\dfrac{|f(A)|+|f(B)|+|f(C)|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\dfrac{|f(A)+f(B)+f(C)|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$\Large =\dfrac{|a(x_A+x_B+x_C)+b(y_A+y_B+y_C)+c(z_A+z_B+z_C)+3d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$\Large =\dfrac{|3ax_o+3by_o+3cz_o+3d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\dfrac{3|f(G)|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=3d(G,(\alpha))$