Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho đường thẳng $\Large

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho đường thẳng $\Large d:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$ và hai điểm $\Large A(2;0;3), B(2;-2;-3)$. Biết điểm $\Large M(x_o;y_o;z_o)$ thuộc $\Large d$ thỏa mãn $\Large P=MA^{4}+MB^{2}+MA^{2}.MA^{2}$ nhỏ nhất. Tìm $\Large y_o$

• A. $\Large y_o=3$
• B. $\Large y_o=2$
• C. $\Large y_o=1$
• D. $\Large y_o=-1$

Vì $\Large M\in d$ nên $\Large M(t+3;2t+1;3t+3)$

Suy ra $\Large \overrightarrow{MA}=(-t-1;-2t-1;-3t),\overrightarrow{MB}=(-t-1;-2t-3;-3t-6)$

$\Large MA^{2}=(t+1)^{2}+(2t+1)^{2}+9t^{2}=14t^{2}+6t+2(1)$

$\Large MB^{2}=(t+1)^{2}+(2t+3)^{2}+(3t+6)^{2}=14t^{2}+50t+46(2)$

Ta có $\Large P=MA^{4}+MB^{4}+MA^{2}.MB^{2}=(MB^{2}-MA^{2})^{2}+3MA^{2}.MB^{2}$

Thay $\Large (1)$ và $\Large (2)$ vào P ta được $\Large P=(44t+44)^{2}+3(14t^{2}+6t+2)(14t^{2}+50t+46)$

$\Large =44^{2}(t+2)^{2}+3[14(t+1)^{2}+10-22(t+1)][14(t+1)^{2}+10+22(t+1)]$

$\Large =1936(t+1)^{2}+3\left\{\left[14(t+1)^{2}+10\right]^{2}-22^{2}(t+1)^{2}\right\}$

$\Large =1936(t+1)^{2}+3[196(t+1)^{4}+280(t+1)^{2}+100-484(t+1)^{2}]$

$\Large =588(t+1)^{4}+1324(t+1)^{2}+300$. Đặt $\Large u=(t+1)^{2},u\geq 0\Rightarrow P=588u^{2}+1324u+300,u\geq 0$

Xét hàm số $\Large f(u)=588u^{2}+1324u+300,u\geq 0$, có $\Large f'(u)=1176u+1324 > 0, \forall y \geq 0$ cho nên $\Large f(u)\geq f(0),\forall u \geq 0$

Ta được $\Large P_{min}=f(0)=300$ khi $\Large u=0\Rightarrow t +1=0\Leftrightarrow t =-1\Rightarrow y_o=2.(-1)+1=-1$. Vậy $\Large y_o=-1$