Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\Large e^{\sin\left(x-\d

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\Large e^{\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)} = \tan x$ thuộc đoạn $\Large \left [ 0; 50\pi \right ].$

• A.

  A. $\Large \dfrac{2671 \pi}{2}.$

• B.

  B. $\Large \dfrac{1853 \pi}{2}.$

• C.

  C. $\Large \dfrac{2475 \pi}{2}.$

• D.

  D. $\Large \dfrac{2653 \pi}{2}.$

Chọn C

Điều kiện: $\Large \cos x \neq 0.$

Nhận thấy: $\Large e^{\sin\left ( x - \dfrac{\pi}{4} \right )} > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ $\Large \Rightarrow \tan x > 0.$

Ta có: $\Large e^{\sin\left ( x - \dfrac{\pi}{4} \right )} =\tan x$  $\Large \Leftrightarrow e^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left ( \sin x - \cos x \right )} = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{e^{\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}}}{e^{\dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}}} = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{e^{\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}}}{\sin x} = \dfrac{e^{\dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}}}{\cos x}.$ $\Large (*)$

Xét hàm số $\Large f(t) = \dfrac{e^{\dfrac{t}{\sqrt{2}}}}{t},$ $\Large t \in (-1; 0) \cup (0; 1)$ có:

$\Large f{}'(t)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{\dfrac{t}{\sqrt{2}}}t-e^{\dfrac{t}{\sqrt{2}}}}{t^2}$ $\Large =\dfrac{e^{\dfrac{t}{\sqrt{2}}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}t-1\right)}{t^2}$ $\Large = \dfrac{e\dfrac{t}{\sqrt{2}}\left ( \sqrt{2}t - 2 \right )}{2t^{2}} < 0$, $\Large t \in (-1; 0) \cup (0; 1)$

=> $\Large f(t)$ nghịch biến trên khoảng $\Large (-1; 0)$ và $\Large (0; 1).$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

$\Large f(-1) = -e^{-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} < 0,$ 

$\Large f(1) = e^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} > 0.$

Do đó từ $\Large (*)$ ta có:

$\Large f(\sin x) = f(\cos x)$ $\Large \Leftrightarrow \sin x = \cos x$  $\Large \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k \pi$, $\Large k \in \mathbb{Z}.$

Theo giả thiết $\Large x \in \left [ 0; 50\pi \right ]$ $\Large \Rightarrow 0 \leq \dfrac{\pi}{4} + k \pi \leq 50\pi$ $\Large \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{199}{4}$ $\Large (**)$

Do $\Large k \in \mathbb{Z}$ nên từ $\Large (**)$ suy ra $\Large k \in 0; 1; 4; …; 49,$ có $\Large 50$ giá trị $\Large k$ thỏa mãn.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $\Large \left [ 0; 50\pi \right ]$ là:

$\Large S = \sum_{k = 0}^{49}\left ( \dfrac{\pi}{4} + k \pi \right ) = \dfrac{2475 \pi}{2}.$