Cho các số thực $\Large x, y$ thay đổi thỏa mãn $\Large x^{2} + y^{2}

Cho các số thực $\Large x, y$ thay đổi thỏa mãn $\Large x^{2} + y^{2} - xy = 1$ và hàm số $\Large f(t) = 2t^{3} - 3t^{2} - 1$. Gọi $\Large M$ và $\Large m$ tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\Large Q = f\left ( \dfrac{5x - y + 2}{x + y + 4} \right ).$ Tổng $\Large M + m$ bằng

• A.

  A. $\Large -4 -3\sqrt{2}.$

• B.

  B. $\Large -4 -5\sqrt{2}.$

• C.

  C. $\Large -4 -2\sqrt{2}.$

• D.

  D. $\Large -4 -4\sqrt{2}.$

Chọn D

Ta có: $\Large x^{2} + y^{2} - xy = 1$ $\Large \Leftrightarrow \left ( x - \dfrac{y}{2} \right )^{2} + \dfrac{3y^{2}}{4} = 1.$

Đặt $\Large t =  \dfrac{5x - y + 2}{x + y + 4} $ $\Large \Rightarrow t(x + y + 4) = 5x - y + 2$ 

$\Large \Leftrightarrow (t - 5)x + (t + 1)y + 4t - 2 = 0$

$\Large \Leftrightarrow (t - 5) \left ( x - \dfrac{y}{2} \right ) + \left ( \sqrt{3}t - \sqrt{3}\right ) \dfrac{\sqrt{3}y}{2} = 2 - 4t.$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

$\Large (2 - 4t)^{2}$ $\Large = \left [ (t - 5) \left ( x - \dfrac{y}{2} \right ) + \left ( \sqrt{3}t - \sqrt{3}\right ) \dfrac{\sqrt{3}y}{2}\right ]^{2}$

$\Large \leq \left [ (t-5)^{2} + (\sqrt{3}t - \sqrt{3}) ^{2}\right ]\left [ \left ( x - \dfrac{y}{2} \right )^{2} + \dfrac{3y^{2}}{4} \right ]$

$\Large \Rightarrow (2 - 4t)^{2} \leq \left [ (t - 5)^{2} +(\sqrt{3}t - \sqrt{3})^{2}\right ].1$

$\Large \Leftrightarrow 12t^{2} - 24t \leq 0$ 

$\Large \Leftrightarrow -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}.$

Xét hàm số $\Large f(t) = 2t^{3} - 3t^{2} - 1$ với $\Large -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}.$

Ta có: $\Large f{}'(t) = 6t^{2} - 6t = 6t(t-1)$

Khi đó $\Large f{}'(t) = 0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = 0 \\t = 1 \\\end{array}\right.$

Ta có: $\Large f(-\sqrt{2}) = -5 - 4\sqrt{2},$ $\Large f(0) = -1,$ $\Large f(1) = 0,$ $\Large f(-\sqrt{2}) = -5 + 4\sqrt{2}.$

Do đó: $\Large M = f(0) = 1;$ $\Large m = f(-\sqrt{2}) =  -5 - 4\sqrt{2}.$

Vậy $\Large M + m = -4 -4\sqrt{2}.$