MỤC LỤC
Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x2+y2−xy=1 và hàm số f(t)=2t3−3t2−1. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q=f(5x−y+2x+y+4). Tổng M+m bằng
Lời giải chi tiết:
Chọn D
Ta có: x2+y2−xy=1 ⇔(x−y2)2+3y24=1.
Đặt t=5x−y+2x+y+4 ⇒t(x+y+4)=5x−y+2
⇔(t−5)x+(t+1)y+4t−2=0
⇔(t−5)(x−y2)+(√3t−√3)√3y2=2−4t.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
(2−4t)2 =[(t−5)(x−y2)+(√3t−√3)√3y2]2
≤[(t−5)2+(√3t−√3)2][(x−y2)2+3y24]
⇒(2−4t)2≤[(t−5)2+(√3t−√3)2].1
⇔12t2−24t≤0
⇔−√2≤t≤√2.
Xét hàm số f(t)=2t3−3t2−1 với −√2≤t≤√2.
Ta có: f′(t)=6t2−6t=6t(t−1)
Khi đó f′(t)=0 ⇔[t=0t=1
Ta có: f(−√2)=−5−4√2, f(0)=−1, f(1)=0, f(−√2)=−5+4√2.
Do đó: M=f(0)=1; m=f(−√2)=−5−4√2.
Vậy M+m=−4−4√2.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới