Hàm số $\Large y=x\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}$

Hàm số $\Large y=x\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

• A.

  Hàm số có đạo hàm $\Large y=\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.

• B.

  Tập xác định của hàm số là $\Large D=\mathbb{R}$.

• C.

  Hàm số đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$.

• D.

  Hàm số nghịch biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$.

Chọn D

ĐK: $\Large x+\sqrt{1+x^2} > 0$ $\Large \Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$

TXĐ: $\Large D=\mathbb{R}$

Ta có $\Large y'=\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+x\dfrac{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'}{x+\sqrt{1+x^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $\Large =\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+x\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\Large =\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $\Large =\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

Có $\Large y'=0$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{ln}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=0$ $\Large \Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=1$ $\Large \Leftrightarrow \sqrt{1+x^2}=1-x$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & 1-x\geq 0 \\ & 1+x^2=(1-x)^2 \end{align}\right.$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x\leq 1 \\ & x=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow x=0$.

Bảng xét dấu của đạo hàm 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$, nghịch biến trên khoảng $\Large (-\infty; 0)$

Đối chiếu với đáp án thấy đáp án D sai.